میدانیم که $F \subseteq V_{n} $ یک وجه از $ { \triangle _{P} }^{ \vee } $ است اگروتنها اگر یک ایده آل پوست مانند $ \alpha $ موجود باشد که
$ F_{x} \bigcap \{ x_{i} : p_{i} \in \alpha \}= \emptyset $ و $ F_{y} \subseteq \{ x_{j} : p_{j} \in \alpha \} $
$\{ x_{i} , y_{j} \} $ را در نظر بگیرید و فرض کنید که $ p_{i} \leq p_{j} $ باشد اگر نشان دهیم که یکی از شرط های $ F_{x} \bigcap \{ x_{i} : p_{i} \in \alpha \}= \emptyset $ و $ F_{y} \subseteq \{ x_{j} : p_{j} \in \alpha \} $ نقض می شود یعنی امکان ندارد هر دو برقرار باشند آنگاه ناوجه بودن ثابت شده است و چون هر زیرمجموعه آن مجموعه تک عضوی (لذا یک وجه است) است پس مینیمال ناوجه نیز می شود.
فرض میکنیم هردو شرط برقرار است و به تناقض مسرسیم.
اولا چون $\{ x_{i} , y_{j} \} $ را داریم پس $ F_{x} =\{x_{i} \} $ و $ F_{y} =\{x_{j} \} $
فرض کنید $ F_{x} \bigcap \{ x_{i} : p_{i} \in \alpha \}= \emptyset $ برقرار باشد لذا باید $ p_{i} \notin \alpha $ چون $ F_{x} =\{x_{i} \} $
از طرف دیگر از اینکه باید $ F_{y} \subseteq \{ x_{j} : p_{j} \in \alpha \} $ باشد داریم که باید $p_{j} \in \alpha$
اما از تعریف ایده آل پوستی اگر $ p_{i} \leq p_{j} $ و $p_{j} \in \alpha$ باید داشته باشیم که $p_{i} \in \alpha$ و این تناقض است.
