خودرویی با سرعت $40\,m/s$ در لحظه ای که با خودرویی با سرعت حرکت $10\,m/s$ دویست متر فاصله دارد ترمز می کند. شتاب آن چقدر باشد تا تصادف نکنند؟

Question

دو خودرو در یک جادهٔ مستقیم در یک جهت با سرعت‌ ثابت در حرکت‌اند. سرعت خودروی عقبی ۴۰ متر بر ثانیه و خودروی جلویی ۱۰ متر بر ثانیه است. زمانی که فاصلهٔ دو خودرو ۲۰۰ متر است، خودروی عقبی ترمز می‌کند. کمترین شتاب خودرو چند متر بر مجذور ثانیه باشد تا به خودروی جلویی برخورد نکند؟

Comments

سوالاتی ه جواب داده شده رو نمیتونید پنهان کنید.

Answer 1

من همواره برای حل چنین مسائلی ترجیح می‌دم چارچوب مرجعم رو تغییر بدم و از نگاه یکی از بازیگران به مسئله نگاه کنم. این‌طوری مسئله خیلی ساده‌تر می‌شه.

در این‌جا هم از نگاه خودروی جلویی (که با سرعت ثابت حرکت می‌کند) به صحنه نگاه می‌کنم. ولی مبدأ دستگاه مختصاتم رو می‌ذارم روی نقطه شروع حرکت خودروی عقبی (در لحظه‌ای که ترمز می‌کنه). بنابراین در این چارچوب (که خود با سرعتی برابر با سرعت خودروی جلویی در حرکته):

خودروی جلویی در فاصله $+200m$ از مبدأ ایستاده ($10-10=0\frac{m}{s}$) و خودروی عقبی با سرعت اولیه $40-10=30\frac{m}{s}$ با شتابی منفی (به خاطر ترمز) «از نقطه مبدأ» به سمت اون در حرکته.

الان کافیه معادله مستقل از زمان زیر رو حل کنیم:

$$v^2 - v_0^2 = 2a.\Delta x$$ چون می‌خوایم کمترین شتاب رو به دست بیاریم، باید فرض کنیم خودروی عقبی بعد از طی این فاصله با خودروی جلویی مماس می‌شه (با سرعتی دقیقاً برابر با سرعت خودروی جلویی) تا عملاً برخوردی روی نده. بنابراین $v$ رو صفر قرار می‌دیم، چون از نگاه ناظری که انتخاب کردیم، خودروی جلویی حرکت نمی‌کنه. (دقت کنید که این سرعتِ صفر، از نگاه ناظر ثابت روی زمین، $+10\frac{m}{s}$ دیده می‌شه).

$$0 - 30^2 = 2a(200)$$ $$a = -2.25 \frac{m}{s^2}$$

کمی بیشتر از شتاب $-2 \frac{m}{s^2}$ که دوستمون به دست آورده بود.

(یه نکته هم این‌که چون چارچوب مرجعمون شتاب نداشت، شتابی که به دست اومد از نگاه ناظر ثابت روی زمین هم همین مقدار رو داره.)

---

https://www.desmos.com/calculator/yxpuydewdv

Answer 2

فرض کنیم ماشین عقبی با شتاب ثابت حرکت کند تا متوقف شود برای اینکه کمترین شتاب را محاسبه کنیم باید مقدارمسافتی که ماشین طی میکند تا متوقف شود(خط نارنجی) دقیقا برابر 200 به اضافه مسافت طی شده ماشین جلویی در همان زمان باشد تا هم برخورد نکنند هم کمترین شتاب را داشته باشیم. اما مسافت طی شده ماشین جلویی( خط سبز) چون با سرعت ثابت حرکت می کند برابر است با $x_{1}=10t$ حال شتاب ماشین عقبی تا لحظه توقف از رابطه $v= v_{0}+at$ برابر است با $a= -\frac{40}{t}$ همچنین معادله مسافت طی شده برابر است با:$x= x_{0}+v_{0}t+ \frac{a t^{2} }{2}$ یعنی:

$200+ 10t=0+40t-20t \rightarrow t=20 \rightarrow a= -\frac{40}{20}=-2$

Comments

جسارتاً پاسختون درست نیست!
با این شتاب بعد از ۱۰ ثانیه دو خودرو با هم برخورد می‌کنن! خودروی جلویی در ۱۰ ثانیه ۱۰۰ متر حرکت می‌کنه:
${ d_1 = v_1 t = 10 \times 10 = 100m }$
خودروی عقبی هم ۳۰۰ متر حرکت می‌کنه:
${ d_2 = \frac{1}{2} at^2 + v_{02} t = \frac{1}{2} (-2) 10^2 + 40 \times 10 = -100 + 400 = 300m }$
 و چون ۲۰۰ متر فاصله اولیه داشتن پس به هم می‌رسن. از طرفی چنان‌چه محاسبه کنیم سرعت خودروی عقبی در این لحظه ۲۰ متر بر ثانیه‌ست:
${ v_2 = at + v_{02} = (-2) 10  +40 = -20 + 40 = 20 \frac{m}{s} }$
یعنی ۱۰ متر بر ثانیه سریع‌تر از خودروی جلویی! پس یک برخورد با سرعت نسبی ۱۰ متر بر ثانیه بین دو خودرو رخ می‌ده.
صد البته اگر برخورد نکنن (از کنار هم عبور کنن) در زمانی هم که شما به دست آوردید دوباره به هم می‌رسن. منتها این‌بار خودروی جلویی (که عقب افتاده) به خودروی عقبی (که جلو زده) می‌رسه (و به طور کامل ازش عبور می‌کنه).

---

سلام حق با شماست
استدلال شما رو متوجه شدم
اگر میتونید لطفا بگید ایراد استدلال من کجاست
کجاش ایراد داره که باعث بدست آوردن جواب غلط شده
چون هر چقدر فکر میکنم نمیدونم مشکل از کدوم قسمته(برای اینکه برای سوالات بعدی دقت بیشتری داشته باشم)

---

سلام
درود بر شما …
من سعی کردم توی پاسخ خودم این نکته‌ای رو که می‌فرمایید توضیح بدم. نکته همینه که در لحظه تماس باید سرعت‌ها «برابر باشن» تا دو خودرو فقط مماس بشن. توی نمودار زیر که لینکش رو قرار دادم، منحنی آبی‌رنگ شتاب «منفی دو» رو نشون می‌ده که همون‌طور که شما محاسبه کردید شیبش در لحظه $t= 20s$ صفر شده، اما در عوض در منحنی قرمز رنگ (شتاب $-۲.۲۵$) دو منحنی در لحظه برخورد «مماس» شدن.
https://www.desmos.com/calculator/xkdat7v0xb