آنالیز حقیقی

Question

فرض کنیم$ \mu _{1} \subset \mu _{2} \subset ... $یک کلاس یکنوا باشند .قرارمی دهیم$ \mu = \bigcup_1^ \infty \mu _{n} $,وفرض کنید$ A_{j} \uparrow A $ و $ A_{j} \in \mu $ .ثابت کنید $A \in \mu $

Answer 1

چون $ A_{j} \uparrow A $پس داریم$A = \bigcup_1^ \infty A_{j} $ از طرفی

$A_{j} \in \mu $ لذا میتوان نوشت $ A_{j} \in \bigcup_1^ \infty \mu _{n} $آنگاه داریم $ \bigcup_1^ \infty A_{j} \in \bigcup_1^ \infty \bigcup_1^ \infty \mu _{n} $ یعنی $ \bigcup_1^ \infty A_{j} \in \bigcup_1^ \infty \mu _{n} $ نتیجه میگیریم $A \in \mu $

درمورد درستی پاسخ نظر دهید

Comments

@alfa20
لطفا پاسخ من رو هم نگاه کنید. و نظرتونو بگید.

Answer 2

من سوال رو نگاه کردم نوشته آیا لزوما $A\in\mu$? اگر نه یک مثال نقض ارائه کنید.

مثال نقض:

فرض کنید $$\mu_1= \lbrace \lbrace 1\rbrace \rbrace \\ \mu_2= \lbrace \lbrace 1\rbrace , \lbrace 1,2\rbrace \rbrace \\ \vdots \\ \mu_n= \lbrace \lbrace 1\rbrace , \lbrace 1,2\rbrace ,\cdots \lbrace 1,2,\cdots n\rbrace \rbrace \\ \vdots$$

در اینصورت $\mu_1\subset \mu_2\subset\cdots$ و اگر مجموعه های

$$A_1= \lbrace 1\rbrace\\ A_2= \lbrace 1,2\rbrace \\ \vdots\\ A_n= \lbrace 1,2,\cdots n\rbrace \\ \vdots$$

در اینصورت تمامی شرایط مساله برقرار است در حالیکه $$A=\bigcup_1^\infty A_i=\mathbb N\notin \mu=\bigcup_1^\infty \mu_i$$

Comments

ممنون از پاسخ شما
درسته Aلزوما درM نیست