بنام خداوند بخشنده ی مهربان
ابتدا پرسش را با ذکر دقیق تر منبع، اصلاح و بازنویسی میکنم و سپس به حل آن می پردازم.
پرسش: فرض کنیم $ l_{1} $ گردایه‌ی تمام دنباله‌های حقیقی
$ x=(x_{1},x_{2},...) $
باشد به‌طوری که $ \sum_{i=1}^{\infty}|x_{n}|< \infty $.
به آسانی معلوم می‌شود که $ l_{1} $ تحت اعمال جبری $ax=(ax_{1},ax_{2},...) $ و $ x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...) $
یک فضای برداری است. به‌علاوه هرگاه به ازای هر $ x \in l_{1} $ تعریف کنیم
$ ||x||_{1}=\sum_{i=1}^{\infty}|x_{n}| $
آن‌گاه
$ ||.||_{1} $
یک نرم بر $ l_{1} $ است. تحقیق خواص نرم به خواننده محول می‌شود. (مثال 23.3. کتاب اصول آنالیز حقیقی نوشته‌ی علی پرانتز / ترجمه‌ی علی اکبر عالم‌زاده/ صفحه‌ی 219)
پاسخ:
ابتدا به تعریف نرم که در خود کتاب آمده است مراجعه می‌کنیم.
تعریف نرم:
تابع حقیقی $ ||.|| $ تعریف شده بر فضای برداری $ X $ را یک نرم نامیم اگر در سه خاصیت زیر صدق کند:
به ازای هر
$ x\in X $
داشته باشیم: $ ||x||\geq 0 $ و $ ||x||=0 $
اگروفقط اگر: $ x=0 $.
به ازای هر
$ x\in X $
و
$ a\in \mathbb{R} $
داشته باشیم:
$ ||ax||=|a|.||x|| $.
به ازای هر
$ x,y \in X $
داشته باشیم:
$ ||x+y||\leq ||x||+||y|| $.
خاصیت 3 را نامساوی مثلثی می‌نامیم. حال به بررسی این سه خاصیت در نرم تعریف شده در سوال می‌پردازیم.
- به ازای هر
$x \in l_1$
با توجه به تعریف داریم:
$||x||_1=\sum_{i=1}^{\infty}|x_n|$
که این عدد به وضوح بزرگتر یا مساوی صفر است. برای قسمت دوم نیز داریم:
$$||x||_1=0\Rightarrow\sum_{i=1}^{\infty}|x_n|=0\Rightarrow |x_1|+|x_2|+\dots=0 \Rightarrow\forall 1\leq n\leq\infty, x_n=0$$
و تساوی آخر نیز نتیجه می‌دهد که:
$ x=(x_{1},x_{1},...)=(0,0,...) $.
برعکس اگر داشته باشیم:
$ x=0 $
آن‌گاه به‌وضوح داریم:
$ ||x||_{1}=\sum_{i=1}^{\infty}|(0,0,...)|=0+0+0+...=0 $.
- به ازای هر
$ x\in l_{1} $
و
$ a\in \mathbb{R} $
داریم:
$$||ax||_{1}=\sum_{i=1}^{\infty}|ax_{n}|=|ax_{1}|+|ax_{1}|+...=|a||x_{1}|+|a||x_{2}|+...=$$
و
$$|a|(|x_{1}|+|x_{2}|+...)=|a|\sum_{i=1}^{\infty}|x_{n}|=|a|.||x||.$$
- به ازای هر $ x $ و $ y $ در $ l_{1} $ داریم:
$$||x+y||_{1}=\sum_{i=1}^{\infty}|x_{n}+y_{n}|=|x_{1}+y_{1}|+|x_{2}+y_{2}|+... $$
با توجه به اینکه می‌دانیم نامساوی مثلثی در فضای اعداد حقیقی
$ \mathbb{R }$
برقرار است، پس برای هر
$ i \in (1,+\infty) $
داریم:
$ |x_{i}+y_{i}|\leq|x_{i}|+|y_{i}| $
که این نیز نتیجه می‌دهد:
$$|x_{1}+y_{1}|+|x_{2}+y_{2}|+...\leq |x_{1}|+|y_{1}|+|x_{2}|+|y_{2}|+... =\sum_{i=1}^{\infty}|x_{n}|+\sum_{i=1}^{\infty}|y_{n}|= ||x||_{1}+||y||_{1}$$
و بنابراین خواهیم داشت:
$||x+y||_{1} \leq ||x||_{1}+||y||_{1}$.
پس هر سه ویژگی ذکر شده برای نرم تعریف شده بررسی شد. اثبات باناخ بودن فضا نیز در صفحه‌ی 219 کتاب در همین مثال بررسی شده است.
