Question

$$ a^{-n} = \frac{1}{ a^{n} } , \forall a \in R,n \in N$$

ايا رابطه بالا تعريف توان منفي است ؟؟اگر تعريف است چرا اينطوري تعريف كردن؟؟

واگر تعريف نيست رابطه را اثبات كنيد ؟؟

Answer 1

این تعریف هست. اینجا رو ببینید.

به طور کلی برای هر $a\in\mathbb R$ که $a\neq 0$ تعریف می کنیم $$a^{-n}=\frac 1{a^n}\quad ,n\in\mathbb N$$ و به این ترتیب یعنی برای تمام اعداد حقیقی غیر صفر توان های صحیح تعریف می شوند.(صفر به توان منفی تعریف نشده است).

دلیل تعریف بالا:در واقع ما وقتی میخوایم که توان های صفر و منفی رو تعریف کنیم باید به ترتیبی این کار رو انجام بدیم که قانون $$a^m\times a^n=a^{m+n}$$ همچنان درست باشد.

در اینصورت چون $$a=a^1=a^{0+1}=a^0\times a^1=a^0\times a$$ یعنی $a=a^0\times a$پس تنها مقداری که برای $a^0$ باقی می ماند این است که $a^0=1$ شود.

و به طور مشابه چون $$1=a^0=a^{n-n}=a^n\times a^{-n}$$ بنابراین $a^{-n}=\frac 1{a^n} $

پس اگر تعریف کنیم $a^{-n}=\frac 1{a^n}$ در اینصورت قانون توانها $$a^m\times a^n=a^{m+n}$$ برای اعداد صحیح برقرار می شود.

---

چنانچه قانون توانها را برای هر عدد صحیح بپذیریم(یعنی برای اعداد صحیح تعریف کنیم): $$a^m\times a^n=a^{m+n}$$ (توجه کنید توانهای منفی صفر تعریف نشده هستند) در اینصورت می توانیم رابطه ای که شما گفتید ثابت کنیم.

$a^{n+1}=a^n\times a$ برای هر عدد صحیح $n$

پس اگر $n=0$ در اینصورت $a=a^0\times a$ و لذا $a^0=1$

و اگر $n=-1$ در اینصورت $a^{-1+1}=a^{-1}\times a^1$ یعنی $a^0=a^{-1}\times a^1$ و لذا $1=a^{-1}\times a^1$ بنابراین $a^{-1}=\frac 1{a^1}$

و به همین ترتیب برای توانهای دیگر$a^{-2}=\frac 1{a^2}$ و $a^{-3}=\frac 1{a^3}$ و ...

Comments

@fardina
بابت پاسخ خيلي ممنون .
فقط شما گفتيد بايد توان هاي صفر و توان هاي صحيح منفي رو بايد طوري تعريف كرد كه:اين قانون برقرار باشد$$ a^{n} × a^{m} = a^{n+m} $$

چرا از اين پنج قانون(قضيه هاي زير) فقط اسم اين قانون اولي رو برديد؟؟؟

$$ a^{n} × a^{m} = a^{n+m} $$

$$ a^{n} × b^{n} = (ab)^{n} $$

<math>$$ a^{n} ÷ a^{m} = \begin{cases}a^{n-m}& n> m \\    \frac{1}{ a^{m-n} } &m> n \end{cases}  $$</math>

$$ a^{n} ÷ b^{n} =  (  \frac{a}{b}) ^{n}   $$

$$  (a^{n}) ^{m} = a^{n×m } $$

---

@amirm20
کلا وقتی تعریفی رو میخوایم بسط بدیم باید طوری این کار روکنیم که با تعریف های قبلی سازگار باشد. در اینجا چیزی که ما به دنبالش هستیم قانون توانها برای توانهای منفی هست و بقیه قانونهایی که شما عنوان کردید برای پایه های مختلف و توانهای یکسان هست که موضوع بحث ما نیست.

---

@fardina
ممنون
ميتونيم اين طوري بگيم كه :
اين پنج قانون براي اعداد طبيعي قابل اثبات هستند .
اما ما بايد توان هاي منفي صحيح وصفر رو طوري تعريف كنيم كه با اين قانون ها مطابقت داشته باشد يعني طوري تعريف كنيم  همچنان اين پنج قوانين درست باشد ؟
درسته؟؟

Answer 2

میشه این رابطه رو به این شکل اثبات کرد : $ a^{-n}=a^{(-1)n}=(a^{-1})^n=(\frac 1a)^n $ که در آن فقط $ a^{-1}=\frac 1a $ تعریف میباشد.

Comments

@farshchian2090
بابت پاسخ خيلي ممنون
ولي طبق اين رابطه(رابطه زير) ما فقط توانستيم براي توان هايي كه اعداد طبيعي دارند اثيات كنيم
$$ \forall a \in R,(n,m) \in N$$

$$ ( a^{n} )^{m} = a^{n×m} $$

كه در اين صورت براي تعريف اين $ a^{-1} = \frac{1}{ a^{1} } $

بايد رابطه زير اثبات شود.

$$ ( a^{-1} )^{m} = a^{(-1)×m} $$

ممنون ميشم اگه اثباتشو بذاريد

---

@amirm20 $  (a^{-1})^m=a^{-1}\times ...\times a^{-1}(بارm)=a^{(-1)+...+(-1)}=a^{-m} =a^{-1 \times m} $   

رابطه $ a^{m+n}=a^m \times a^n $ برای هر $ m,n \in Z $ برقرار است.(اگر اشتباه نکرده باشم .)

---

@fc323
بابت ديگاه ممنون
ولي ما بايد از توان طبيعي نتيجه بگيريم توان منفي رو !!
باتوجه به گفته شما
شما بايد اين رابطه زير رو اثبات كنيد .
$$ a^{n} × a^{m} = x^{n+m}  \forall n,m \in Z $$
وبعد اثبات رابطه بالا اونوقت ميتوان گفته شما پذيرفت

---

درسته اگر در تعریف فقط با توان های طبیعی ثابت شده پس حق با شماست باید این نکته رو هم ثابت کرد که اثبات استقرایی ساده ای داره .