به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
230 بازدید
در دانشگاه توسط

دو منحنی متعامدند به شرطی که در نقطه برخوردشان مماس بر آن ها بر هم عمود باشند.

نشان دهید که خانواده منحنی های داده شده مسیرهای معامد یکدیگرند یعنی هر منحنی در هر یک از خانواده ها با منحنی در خانواده دیگر متعامد است.

هر دو خانواده را در یک دستگاه بکشید.

$$x^2+3y^2=b , y=ax^3$$
مرجع: ریاضی عمومی استوارد

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

کافی است دقت کنید که دو منحنی با هم برابرند هرگاه متغیرهای $x$ و $y$ آنها با هم برابر باشند.

ثانیا دو خط بر هم عمودند هرگاه حاصلضرب شیب هاشان برابر منفی یک شود.

پس برای دو منحنی دلخواه از این دسته ها مثل $y=ax^3$ و $x^2+3y^2=b$ اولا در نقاط تماس $x$ و $y$ آنها برابرند ثانیا حاصلضرب شیب خط مماسشان را باید به دست آوریم(باید ثابت کنیم برابر منفی ک می شود)

شیب خط مماس در منحنی $y=ax^3$ در هر نقطه $x$ برابر است با مشتق آن در این نقطه $y'=3ax^2$ و از طرفی شیب خط مماس بر منحنی $x^2+3y^2=b$ در استفاده از مشتق ضمنی برابر است با $ y'= -\frac x {3y} $

در اینصورت حاصلضرب شیبها برابر است با $3ax^2\times (-\frac x {3y})=-\frac {ax^3}{y}$

اما در نقطه تماس $y$ در هر دو معادله منحنی صدق می کند از جمله $y=ax^3$ بنابر این حاصلضرب شیب ها برابر $-1$ می شود.

به عنوان مثال برای $a=1$ و $b=5$ من شکل رو رسم کردم:

enter image description here

(عکس از wolframalpha)


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...