با استفاده از مشتق نشان دهید که سهمی های زیر برهم عمودند.

Question

$$1) y^2 = 2px + p^2$$ $$2) y^2 = p^2 - 2px$$

Answer 1

اصلا هیچ اشاره‌ای به تلاش خودتان نکرده‌اید و معلوم نیست شروع به حل کرده‌اید یا خیر.

نخستین کاری که باید بکنید این است که ببینید در چه نقاطی یکدیگر را قطع کرده‌اند. سپس باید در تک تک نقاطی که یکدیگر را قطع کرده‌اند بررسی کنید که خط‌های مماس دو خط در آن نقطه‌ها عمود بر هم هستند که همان شرطی است که خودتان در دیدگاهتان گفته‌اید، یعنی حاصلضرب شیب‌ها منفی یک شود.

پس نخست بیاییم نقاط برخورد را بیابیم. برای این کار مانند همیشه معادله‌ها را برابر قرار می‌دهیم. اگر $y$ها را برابر قرار دهیم و به دنبال $x$ بگردیم، از برابر بودن $y$ها، برابر بودن $y^2$ها را نیز نتیجه می‌دهد پس معادلهٔ زیر را حل می‌کنیم:

$$2px+p^2=p^2-2px$$ که نتیجه می‌دهد $4px=0$ دو حالت داریم اگر $p$ ناصفر باشد آنگاه باید $x$ صفر باشد. با گذاشتن $x=0$ در هر یک از دو ضابطه داریم $y=\pm p$ پس دو نقطهٔ برخورد داریم $(0,p)$ و $(0,-p)$. اکنون مشتق‌ها که شیب را می‌دهند در این دو نقطه می‌یابیم. توجه کنید که از مشتق ضمنی باید استفاده کرد.

برای خم نخست داریم

$$2y'y=2p\Rightarrow y'=\frac{p}{y}$$ پس در دو نقطهٔ $(0,p)$ و $(0,-p)$ به ترتیب شیب‌های خط مماس آن می‌شوند $1$ و $-1$.

برای خم دوم داریم

$$2y'y=-2p\Rightarrow y'=-\frac{p}{y}$$ پس در دو نقطهٔ $(0,p)$ و $(0,-p)$ به ترتیب شیب‌های خط مماس آن می‌شوند $-1$ و $1$.

روشن است که ضرب شیب خط‌های مماس دو خم در نقطه‌های برخوردشان منفی یک می‌شود.

اکنون حالتی که $p=0$ در این حالت هر دو ضابطه به ما محور $y$ها که دو بار روی خودش تکرار شده‌باشند را می‌دهند (تمامی نقاط با چندگانگی دو). به هر حال هر دو ضابطه یک شکل یکسان که سهمی نیستند می‌دهند و در نتیجه نه بر هم عمودند و نه خواستهٔ پرسش این حالت بوده‌است چون در متن گفته‌شده‌است سهمی.