Question

طول نقاط هاي بحراني تابع زير را بدست آوريد؟

$$f(x)=( x-a)^{n} ( x-b)^{m} $$

Answer 1

فرض کنید که $m,n \geq 1 $ باشند آنگاه با مشتق گیری خواهیم داشت: $$ f'(x) =n( x-a)^{n-1}( x-b)^{m}+m( x-a)^{n}( x-b)^{m-1} $$

اگر $ n-1 \geq 1 $ آنگاه $f'(a) =0 $ لذا $ a $ یک نقطه بحرانی خواهد بود. در غیر اینصورت نقطه بحرانی نیست.

اگر $ m-1 \geq 1 $ آنگاه $f'(b) =0 $ لذا $ b $ یک نقطه بحرانی خواهد بود. در غیر اینصورت نقطه بحرانی نیست.

$$f'(x) =( x-a)^{n-1}( x-b)^{m-1}(n ( x-b)+m( x-a)) $$ فرض کنید $ x \neq a $ و $x \neq b $ باشد. پس برای اینکه مشتق صفر شود باید $n ( x-b)+m( x-a)=0 \Longrightarrow x= \frac{nb+ma}{m+n} $

Answer 2

من فرض میکنم که منظور شما این بوده که $a,b\in\mathbb R$ و $m,n\in\mathbb N$ .

چون این تابع $f(x)=(x-a)^m(x-b)^n$ همه جا مشتق پذیر است لذا نقاط بحرانی آن در نقاطی اتفاق می افتد که مشتق برابر صفر باشد.

$$f'(x)=m(x-a)^{m-1}(x-b)^n+n(x-a)^m(x-b)^{n-1}=0$$

در اینصورت با فاکتورگیری داریم: $$(x-a)^{m-1}(x-b)^{n-1}(m(x-b)+n(x-a))=0$$

در اینصورت نقاط بحرانی عبارت اند از: $$x=a, x=b, x=\frac{na+mb}{m+n}$$

فقط باید توجه کنید چنانچه $m=1$ در اینصورت $x=a$ نقطه بحرانی نخواهد بود. و به همین ترتیب اگر $n=1$ نقطه $x=b$ نقطه بحرانی نخواهد بود.

Comments

@erfanm
@fardina
ممنون بابت پاسخ فقط :
آيا  فقط براي توان هاي طبيعي قابل قبول هست!!

---

@amirm20
بله اینی که نوشتم فقط برای توانهای طبیعی هست. چون سایر توانها نوع مشتق عوض می شود.