اگر يك معادله ايي داشته باشيم مانند$f(x)=0$به طوري كه$f(x)$

Question

باتوجه به دو سوال قبل:

اگر يك معادله ايي داشته باشيم مانند $f(x)=0$به طوري كه $f(x)$

يك چند جمله ايي بر حسب $x$ باشد.

گوييم$a$ريشه ساده ي معادله $f(x)=0$ است هرگاه داشته باشيم:

$$f(x)=(x-a)g(x)=0$$

گوييم$a$ريشه مكرر زوج معادله $f(x)=0$ است هرگاه داشته باشيم:

$$f(x)= (x-a)^{2n} g(x)=0$$

گوييم$a$ريشه مكرر زوج معادله $f(x)=0$ است هرگاه داشته باشيم:

$$f(x)= (x-a)^{2n+1} g(x)=0$$

و در مورد تابع ايي هم كه ضابطه آن چند جمله ايي باشد .هم همينطور!!

درسته؟؟

آيا تعاريف بالا تعريف ريشه ساده و مكرر است يا خير؟؟

آيا ميتوان تابع ايي يا معادله ايي داشت كه هم ريشه ساده وهم ريشه مكرر زوج وفرد داشته باشد؟؟

Answer 1

وقتی $x=a$ ریشه یک چندجمله ای باشه یعنی اون چند جمله ای بر $(x-a)$ بخشپذیره. پس میتونیم به صورت $f(x)=(x-a)g(x)$ نوشت. اگر $x=a$ ریشه $g(x)$ هم باشد در اینصورت $g(x)=(x-a)h(x)$ و لذا $f(x)=(x-a)^2h(x)$. اگر به همین ترتیب ادامه دهیم بیشترین توانی از $(x-a)$ را می یابیم که $f(x)$ بر آن بخشپذیر است. وقتی میگیم $x=a$ ریشه ساده $f$ است یعنی بیشترین توانی از $(x-a)$ که $f$ بر آن بحشپذیر است برابر $1$ است. همچنین وقتی میگیم $x=a$ ریشه زوج است یعنی بیشترین توانی از $(x-a)$ که $f$ بر آن بخشپذیر است عددی زوج است. و به طور مشابه برای حالت ریشه فرد. پس ممکن نیست یک تابع هم زوج باشه هم فرد. چون بالاخره این بیشترین توان یا فرد هست یا زوج.

Comments

@fardina
ممنون بابت پاسخ فقط منظورم اين نيست كه يك ريشه ميتواند هم زوج باشد يا هم فرد!!
منظورم اين بود كه آيا يك تابع يا معادله ميتواند هم ريشه ساده وهم ريشه فرد وهم ريشه زوج داشته باشد يعني همزمان هر سه جور ريشه رو داشته باشه؟؟؟؟

---

خوب قبلا یک مثال آوردیم.
$(x-1)(x-2)^2(x-3)^3$

---

@fardina
اهوم بله ممنون:
فقط ايا براي توابع و معادله هاي چند متغيره ميتوان از ريشه مضاعف و مكرر استفاده كرد ؟؟!!
يا فقط براي تك متغير ها ريشه ساده و مكرر ميگوييم؟!!