Question

هرگاه مجموع $ n$عدد مثبت مقداري ثابت باشد يعني داشته باشيم :

$S= x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n} $

آنگاه حاصلضرب آنها يعني:

$P= x_{1}. x_{2} . x_{3} ..... x_{n} $

چه موقع ماگزيمم است؟

نتيجه1:

هرگاه $ a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} +...+ a_{n} x_{n} =S$ و $a,x > 0$آنگاه

عبارت $( x_{1} . x_{2} .... x_{د} )$ وقتي $max $است كه $ a_{1} x_{1} = a_{2} x_{2} =...= a_{n} x_{n} $باشد

نتيجه 2:

هرگاه مجموع $n$عدد مثبت مقداري ثابت باشد $S= x_{1} + x_{2} +.. x_{n} $ آنگاه حاصل عبارت$x_{1} ^{ \beta }.x_{2} ^{ \alpha }...x_{n} ^{ \gamma }$ وقتي $max$ است كه :

$ \frac{ x_{1} }{ \beta } = \frac{ x_{2} }{ \alpha } =... \frac{ x_{n} }{ \gamma } = \frac{ x_{1} + x_{2} +.. x_{n} }{ \alpha + \beta +.. + \gamma } $

Comments

هرگاه $x_1x_2+...+x_n$ چی؟ و چرا اونجا همه اندیس ها برابر یک هستد؟

---

@fardina
ويرايش كردم
ببخشيد!!

Answer 1

راهنمایی:

اگر $x, y\geq 0$ دو عدد مثبت با مجموع ثابت باشند در اینصورت ماکسیمم آنها وقتی اتفاق می افتد که $x=y$ باشد. زیرا $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}2$ و زمانی مساوی رخ می دهد که این دو با هم برابر باشند.

البته با استفاده از مشتق هم میتونید به همین جواب برسید. چون $P(x)=xy=x(S-x)=-x^2+Sx$ و $0\leq x\leq S$ در اینصورت با مشتق گیری خواهید فهمید در $x=\frac S2$ ماکسیمم خواهیم داشت.

اما اگر $x=\frac S2$ چون $x+y=S$ پس باید $y=\frac S2$ یعنی $x=y$ .

Comments

@fardina
تشكر :
دو تانتيجه داره ميشه كه بالا نوشتم :
ميشه اونارو هم اثبات كنيد
خيلي ممنون!!

---

@parham
متوجه نشدم!

---

@fardina
بالا به سوال اضافه كردم

---

اگر قرار بدید $y_1=a_1x_1,..., y_n=a_nx_n$ در اینصورت ماکسیمم $y_1...y_n$ وقتی مجموع آنها ثابت است وقتی اتفاق می افتد که $y_1=...=y_n$

در مورد بعدی هم من متوجه نشدم چی نوشتید. لطفا ویرایش کنید.

Answer 2

فرض کنید مجموع ثابت و برابر $S$ باشد. برای اثبات رابطه می توانیم از قضیه میانگین کوشی استفاده کنیم که برای $ x_{1} ,..., x_{n} $ داریم: $$ \sqrt[n]{ x_{1} ... x_{n} } \leq \frac{ x_{1} +...+ x_{n} }{n} $$

و تساوی وقتی برقرار است که اعداد با هم برابر باشند.

پس وقتی خاصلضرب به ماکزیمم(کران بالای خود) میرسد که اعداد با هم برابر باشند. اگر اعداد با هم برابر باشند یعنی فرض $ x_{i}=a $ خواهیم داشت: $$ \sqrt[n]{ a^{n} } = \frac{S}{n} \Rightarrow a= \frac{S}{n}$$

برای نتیجه ی یک اولا اگر قرار دهیم $ x_{ i }^{'} = a_{i} x_{i} $ آنگاه

$ x_{ 1 }^{'}... x_{n }^{'} = a_{1} ... a_{n} x_{1} ... x_{n} =a x_{1} ... x_{n}$ پس $x_{1} ... x_{n}$ زمانی ماکزیمم است که $ x_{ 1 }^{'}... x_{n }^{'} $ ماکزیمم باشد. پس طبق قسمت اول باید $x_{ i }^{'}$ها با هم برابر باشند. و حکم نتیجه می شود.

---

اثبات قسمت آخر:

قرار می دهیم:$ t_{1} = \frac{ x_{1} }{ \alpha } $ و ... و $ t_{n} = \frac{ x_{n} }{ \gamma } $ لذا $$S= x_{1} +...+ x_{n}= \alpha t_{1} +...+. \gamma t_{n} = $$ $$ \underbrace{( t_{1}+...+ t_{1})}_{ \alpha } +...+ \underbrace{( t_{n}+...+ t_{n})}_{ \gamma } $$ حال طبق قسمت اول حاصلضرب این عناصر یعنی $ {x_{1}}^{ \alpha } ... {x_{n}}^{ \gamma } $ زمانی ماکزیمال است که $ t_{1}=...= t_{n} = \frac{S}{ \alpha +...+ \gamma } $

با جایگذاری $ t_{1} = \frac{ x_{1} }{ \alpha } $ و ... و $ t_{n} = \frac{ x_{n} }{ \gamma } $ حکم ثابت می شود.

Comments

اثبات قسمت آخر هم اضافه شد.
اثبات را آقای حسینی از دبیران به نام ریاضی فرستادند.