به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+3 امتیاز
1,819 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20 (1,111 امتیاز)
ویرایش شده توسط amirm20

در مبحث اعمال جبري روي توابع ميگوييم كه اگر دامنه دوتابع مانند f,g اشتراك داشته باشد يعني:

D_{f} \cap D_{g} \neq \emptyset

باشد ميتوان اعمال جبري رو انها انجام داد:

به طوري كه در دامنه هاي مشترك دو تابع f,g

روي برد دوتابع اعمال جبري انجام داد.

حالا سواله من اينه كه :

منظور از اعمال جبري فقط ضرب وتقسيم وجمع وتفاضله يا اينكه ميتوان

اينطوري هم انجام دهيم مثل:

\sqrt{f}× g

\sqrt{f×g}

يا چيزايي ديگر مثل قدر مطلق يا جزءصحيح يا لگاريتم يا سينوس و......

واينكه ضرب يك عدد حقيقي مانندr در يك تابع مانند fيعني چي؟ rf=?

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط farshchian2090 (1,204 امتیاز)
ویرایش شده توسط farshchian2090

در مورد سوال اول باید بگم خدمت شما که به طور کلی اعمالی رو میتوانیم روی هر تابعی در حالت کلی اعمال کنیم که برد اون تابع در دامنه اون عمل مورد نظر تعریف شده باشه . به عنوان مثال اگر تابع f رو در نظر بگیریم به طوری که دارای برد مثبت یا صفر در اعداد حقیقی هست روی این تابع میتوان تابع رادیکال رو اعمال کرد توجه کنید که در کل تابع این کار امکان پذیر هست یعنی به ازای هر x \in D_f ، \sqrt f قابل تعریف است اما اگر تابع قسمتی از برد آن منفی باشد دیگر نمیتوان \sqrt f را درحالت کلی بیان کرد چرا که در دامنه رادیکال صدق نمیکند و فقط به ازای x هایی که f(x) \geq 0 باشد قابل تعریف است یا به عبارت واضحتر \sqrt f بیمعنی است . و همینطور برای هر تابع دیگری که شما بخواید رو تابع دلخواه f اعمال کنید. بحث دامنه f و g فقط زمانی پیش میاد که شما اون دو تابع رو دارید هم زمان با هم جمع ، تفریق ، ضرب یا تقسیم یا توان و امثال اینها میکنید چون این اعمال در اصطلاح جبری اعمال دوتایی هستند یعنی همواره دو عملوند برای تعریف شدن لازم دارند. در واقع وقتی دو تابع باهم جمع و یا ضرب و ... شوند این عمل جمع روی x هایی تعریف میشه که در دامنه هردوتابع وجود داشته باشد. اعمالی مانند رادیکال ، سینوس ، لگاریتم و ... اعمال یکانی اند یعنی فقط یک عملوند می پذیرند لذا فقط به برد اون تابع کار دارند و دامنه اون تابع اهمیتی در اونجا نداره . پس این بحث بستگی به تابع به کار رفته داره .(بازهم خواستید با مثال های بیشتر ، توضیح میدم خدمتتون ).

حالا به نظر خودتوون در مورد عبارتی مثل \sqrt f + g یا \sqrt {f+g} باید چی بگیم؟؟؟؟

اما در مورد سوال دوم : وقتی یک عدد حقیقی مانند r در یک تابع ضرب میشه در واقع کل مجموعه برد تابع f در r ضرب خواهد شد. دامنه اون تابع هم که مسلما ثابته.

توسط farshchian2090 (1,204 امتیاز)
+2
@amirm20


<math> f^2=\{ (-4,36) , (3,16) , (2,0) \} </math>
<math> \sqrt f=\{ (-4,3)  , (2,0) \} </math>
توجه میکنید که تابع <math> \sqrt f  </math> در نقطه <math> (3,-4)  </math> تعریف نشده لذا از مجموعه بالا حذف شده .

<math> [f]=\{ (-4,9) , (3,-4) , (2,0) \} </math>
<math> |f|=\{ (-4,9) , (3,4) , (2,0) \} </math>
<math> sin(f)=\{ (-4,sin(9)) , (3,sin(-4)) , (2,sin(0)) \} </math>
<math> log(f)=\{ (-4,log9) \} </math>

در این تابع نیز نقاطی که مولفه دوم آنها منفی یا صفر باشند در تعریف تابع لگاریتم f وارد نمیشوند.

لذا به سادگی ملاحظه میکنید که دامنه تابعی که روی تابع f اعمال میکنید مهم است و بعد از آن این تابع ها تنها روی مولفه های دوم یا برد تابع اثر میکنند.
توسط amirm20 (1,111 امتیاز)
+2
@farshchian2090
خيلي ممنون.
پس هر عملي كه روي يك  تابع  بخواهيم انجام دهيم يعني اعمال رو برد هاي اون تابع .درسته؟؟
واينكه هر عملي كه روي يك تابع انجام شود  دوحالت دارد ممكن است يك تابع شود يا ممكن است اصلا تعريف نشده باشد .درسته؟؟

ايا به اين اعمالي كه فقط روي يك تابع انجام ميشود ميگويند  اعمال يكاني؟؟
توسط farshchian2090 (1,204 امتیاز)
+2
@amirm20 بله درسته . در مورد اینکه به این اعمال یکانی بگیم بستگی به دید شما از مسئله داره در واقع اینها تابع های یک متغیره هستند که روی یک تابع دیگه دارن اثر میکنن بحث اینکه به اینها عمل یکانی میگیم در جبر مطرح میشه که خودش یک مبحث وسیع تری هست .(در این باره اگر کتاب های مثل جبر هرشتاین یا اساس جبر مجرد رو بخونید مطالب جالبی دارن تو این زمینه اونجا به طور مفصل درباره تعریف عمل یکانی ، دوتایی و در حالت کلی n  تایی هست ) موفق باشید.
توسط erfanm (13,871 امتیاز)
+1
وقتی فرمول رو در دیدگاه مینویسید فقط باید بین دو دلار باشه و اون قسمت شامل
 \math
رو حذف کنید.
توسط farshchian2090 (1,204 امتیاز)
+1
درسته ممنونم حتما خاطرم میمونه .
...