به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
49 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط alineysi

چند عدد صحیح مثبت کوچکتر از ۳۰۰۰ داریم که از مجموع دو عدد که یکی توانی از۲ و دیگری از۳ تشکیل شده باشد و رقم ۹ حداقل یکبار ور آن ظاهر شده باشد؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط alineysi
 
بهترین پاسخ

نخست توجه می‌کنیم که جزءصحیحِ $\log_23000$ برابر است با ۱۱ و جزءِ صحیحِ $\log_33000$ برابر است با ۷. بنابراین هیچ ترکیبِ $2^m+3^n$ ای که $m>11$ یا $n>7$ نمی‌تواند از ۳۰۰۰ کمتر باشد. پس کافیست $2^m+3^n$هایی که $m\leq 11$ و $n\leq 7$ را امتحان کنیم که ۷۷ عدد بیشتر نیستند. این عددها را در ماتریس زیر نمایش داده‌ایم که درایهٔ $(i,j)$اُم برابر است با $2^i+3^j$. دو عنصر بزرگتر از ۳۰۰۰ می‌شوند که خط زده‌ایم (توجه کنید که شرط روی $m$ و $n$ تنها شرط لازم بودند پس اگر و تنها اگر نیستند فقط می‌گویند اگر برقرار نباشند کمتر از ۳۰۰۰ نخواهد بود ولی نمی‌گویند اگر برقرار باشند کمتر از ۳۰۰۰ خواهد شد). از عددهای باقیمانده ۲۱ عدد رقم ۹ در آنها حضور دارد.

enter image description here

دارای دیدگاه توسط alineysi
+1
بسیار عالی ممنون از شما

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...