Question

چند عدد صحیح مثبت کوچکتر از ۳۰۰۰ داریم که از مجموع دو عدد که یکی توانی از۲ و دیگری از۳ تشکیل شده باشد و رقم ۹ حداقل یکبار ور آن ظاهر شده باشد؟

Answer 1

نخست توجه می‌کنیم که جزءصحیحِ $\log_23000$ برابر است با ۱۱ و جزءِ صحیحِ $\log_33000$ برابر است با ۷. بنابراین هیچ ترکیبِ $2^m+3^n$ ای که $m>11$ یا $n>7$ نمی‌تواند از ۳۰۰۰ کمتر باشد. پس کافیست $2^m+3^n$هایی که $m\leq 11$ و $n\leq 7$ را امتحان کنیم که ۷۷ عدد بیشتر نیستند. این عددها را در ماتریس زیر نمایش داده‌ایم که درایهٔ $(i,j)$اُم برابر است با $2^i+3^j$. دو عنصر بزرگتر از ۳۰۰۰ می‌شوند که خط زده‌ایم (توجه کنید که شرط روی $m$ و $n$ تنها شرط لازم بودند پس اگر و تنها اگر نیستند فقط می‌گویند اگر برقرار نباشند کمتر از ۳۰۰۰ نخواهد بود ولی نمی‌گویند اگر برقرار باشند کمتر از ۳۰۰۰ خواهد شد). از عددهای باقیمانده ۲۱ عدد رقم ۹ در آنها حضور دارد.

Comments

بسیار عالی ممنون از شما