شرط آنكه دو معادلهٔ درجه دو دارای دو ريشهٔ مشترک باشند چیست؟

Question

آیا شرط خاصی وجود دارد که با استفاده از آن بتوان فهمید دو معادلهٔ درجهٔ دو دارای دو ریشهٔ مشترک هستند؟ و چگونه می‌توان ریشه‌های مشترک دو معادلهٔ درجهٔ دو را محاسبه کرد؟

Comments

در همه این موارد کافی است دو ضابطه را برابر هم قرار بدهید و با منتقل کردن به یک طرف آن را به یک معادله درجه دوم تبدیل کنید. در اینصورت اگر این معادله دو جواب ، یک جواب یا هیچ جوابی نداشته باشد شما رو به جوابتون میرسونه.
البته خوبه بدونید اگر دو چندجمله ای درجه دوم ریشه های یکسان داشته باشن در اینصورت یکی از آنها ضریب ثابتی از دیگری خواهد بود.

---

@fardina
ممنون
فقط ميشه شرطاشونو بنويسيد تا خودم با انجام كاراي كه گفتيد به اونا برسم؟?!!

---

سوال برای من گنگه. اینکه دو معادله ریشه های برابر داشته باشن فکر نمیکنم ربطی به هم داشته باشن.
ولی اگر منظورتون دو تابع باشه که چه موقع با هم برابر هستن باید معادلات رو برابر هم قرار بدیم.
و برای معادله درجه دوم ساده ترین راه حل اینه که ریشه ها رو به دست بیارید و ببینید ریشه یکسان دارند یا نه. دیگه چرا باید دنبال فرمولی نکته ای چیزی باشید؟

---

@fardina
ممنون
منظورم اينه كه اگر دو معادله در جه دوم زير بخواهند دو جواب مشترك داشته باشن چه رابطه ايي بين اعداد ثابتوشون داره يعني $a,a',b,b',c,c'$
$ax^2+bx+c=0$
$ a'x^2+b'x+c'=0$

Answer 1

اگر دو معادله از درجه $n$ دارای $n$ ریشه یکسان باشند در اینصورت یکی از آنها ضریبی از معادله دیگری است.

یعنی در سوال شما چنانچه دو معادله درجه دوم دارای ریشه یکشان باشند انگاه عدد حقیقی $k$ موجود است که $ax^2+bx+c=k(a'x^2+b'x+c')$

Comments

@fardina
خيلي خيلي ممنون
فقط ميشه دليش هم رو بگيد!؟

---

اگر ریشه ها را $\alpha$ و $\beta$ در نظر بگیریم در اینصورت معادله اول را می توانیم به صورت $A(x-\alpha)(x-\beta)$ نوشت(زیرا اگر $P(x)$ یک چندجمله ای و $x_0$ ریشه آن باشد آنگاه بر $(x-x_0)$ بخشپذیر است.). و همینطور چندجمله ای بعدی را می توان به صورت $A'(x-\alpha)(x-\beta)$ نوشت.

---

@fardina
خيلي ممنون
من جايي ديدم كه ميگفت
اگر در دو معادله در جه دوم رابطه زير برقرار باشد

:$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} $

اين دومعادله دو ريشه مشترك دارند!!
ممنون ميشم دليل اينو بگيد؟

---

وقتی میگیم یکی ضریب دیگری باشد یعنی $ax^2+bx+c=k(a'x^2+b'x+c')=ka'x^2+kb'x+kc'$ با برابر قرار دادن ضرایب داریم:
$a=ka',b=kb',c=kc'$ یعنی $k=\frac a{a'}=\frac b{b'}=\frac c{c'}$.
البته این برای موقعی هست که ضرایب هیچ کدام صفر نباشند(چون در غیر اینصورت مخرج صفر می شود) لذا ترجیح دادم همون به صورت ضریب ثابت از دیگری بیان کنم.