خوش تعریفی همرده ی زیر گروه H در G

Question

فرض کنیم $H \leq G$ و$ i _{g} :G \longrightarrow G $ که $y \mapsto gy g^{-1}$.ثابت کنید ضرب القا شده توسط $G$روی همرده های $H$ و $G$ خوش تعریف است اگر و فقط اگر $H$ در $G$ نرمال باشد.

Answer 1

صورت این سوال را بصورت دیگری هم میتوان بیان کرد که باعث میشود اثبات قابل فهم تری ارایه شود. اگر زیر گروه H در G نرمال باشدآنگاه ضرب القایی روی همرده های H در G خوشتعریف باشد.

برهان:$$ \forall a,a \prime ,b,b \prime \in G ; (aH=a \prime H , bH=b \prime H ) \Longrightarrow ((aH)(bH)=(a \prime H)(b \prime H) ) $$ $$ a H=a \prime H \Longrightarrow a^{-1}a \prime \in H \Longrightarrow x \in H , x= a^{-1}a \prime \Longrightarrow a \prime =ax $$ $$ b H=b\prime H \Longrightarrow b^{-1}b \prime \in H \Longrightarrow y \in H , y= b^{-1}b \prime \Longrightarrow b \prime =by $$ $( a \prime H)(b \prime H )=a \prime b \prime H=(ax)(by)H=axbH(چونy \in HپسyH=H) \Longrightarrow abb \prime xbH ( \ast ) =abH=(aH)(bH) $ ($ $) ($ ( \ast ) $$ x \in H ,b\in G,Hنرمال \Longrightarrow bx b^{-1} $)

Answer 2

باید نشان دهیم به ازای هر $ g \in G$ تحدید $ i_{g} $ به $ H $خوش تعریف است دو مورد را برای خوش تعریفی باید بررسی کنیم.

1) همانطور که گفته شده باید$ i_{g}$ از $ H$ به $ H $ بنگارد. یعنی اگر $ y \in H $ آنگاه $i_{g}(y)=gy g^{-1} $ عضوی از $ H $ باشد به ازای هر $y \in H $.

و این شرط باید برای تمام $ g \in G$ برقرار باشد و این معادل است با نرمال بودن $H $ در $ G $

2) اگر $ y_{1} = y_{2} $ آنگاه $ i_{g}(y_{1} )=i_{g}(y_{2} ) $ و این واضح است( حتی از خوش تعریف بودن $ i_{g}: G \longrightarrow G $ نتیجه می شود.)