برای یک بردار یکه (دارای نرم اقلیدسی یک $||v||=v^tv=1$)، ماتریسِ $P=I-2vv^t$ را ماتریس هاوْسهُلدِر Householder میگویند (اشتباه آن را ماتریس خانهنگهدار ترجمه نکنید، در اینجا این واژه نام خانوادگی یک ریاضیدان آمریکایی است).
توجه کنید که
$$\begin{array}{ll}
(I-2vv^t)^2 & = (I-2vv^t)(I-2vv^t)\\
& =I-4vv^t+4vv^tvv^t\\
& =I-4vv^t+4v(v^tv)v^t\\
& =I-4vv^t+4vv^t\\
& =I
\end{array}$$
پس ماتریسمان در معادلهٔ $x^2-1=0$ صدق میکند. در نتیجه چندجملهای کمینش این چندجملهای را میشمارد. این نتیجه میدهد که مقدارویژههای این ماتریس میتوانند از بین یک و منفی یک انتخاب شوند. در نتیجه دترمینان آن نیز یا یک است یا منفی یک.
برای اینکه دقیقتر شویم توجه کنید که
$$Pv=(I-2vv^t)v=v-2vv^tv=v-2v(v^tv)=v-2v=-v$$
پس $v$ یک بردار ویژه برای مقدار ویژهٔ منفی یک است. از طرف دیگر هر برداری در زیرفضای مکملمتعامد بر زیرفضای تکبعدی تولید شده بوسیلهٔ بردار $v$ مانند $u$ که برداریم داریم $v^tu=0$ پس
$$Pu=(I-2vv^t)u=u-2vv^tu=u-2v(v^tu)=u$$
پس آنها بردار ویژه برای مقدار ویژهٔ یک میشوند. میدانیم که بعد زیرفضای مکملمتعامد برابر با بعد کل فضا منهای بعد زیرفضای اولیه است. پس دو حالت دارم اگر بعد کل فضا یک باشد آنگاه فقط یک مقدار ویژهٔ منفی یک داریم. اگر بعد فضا بزرگتر یا مساوی دو باشد آنگاه یک بردار ویژهٔ منفی یک و یک بردار ویژهٔ یک با $n-1$ داریم که بعلاوه بعد زیرفضای بردار ویژههای مقدارویژههایمان دقیقا با تکرار مقدارویژههایمان یکسان است.
روشن است که دترمینانمان دقیقا برابر منفی یک میشود.
توجه کنید که اگر به جای اعداد حقیقی با اعداد مختلط کار میکنید باید به جای ترانهاده از هرمیتی استفاده کنید.
