Question

فرض کنيم فضای برداری $V$ دارای دو پايه ی نا متناهی $A$ و $B$ باشد. نشان دهيد $Card \ A = Card \ B$ .

Answer 1

برای اثبات فرض می کنیم $N=\{ n_{ \lambda } : \lambda \in I \}$ و $M=\{ m_{ \gamma } : \gamma \in J \}$ دو پایه برای فضای برداری $V$ باشند. ابتدا تابعی یک به یک $\varphi :M \rightarrow N$ می سازیم لذا نتیجه می شود که $card(M) \leq card(N)$ و به طور مشابه نشان داده می شود که $card(N) \leq card(M)$ و حکم ثابت می شود.

عنصر دلخواه $m_{{ \gamma }_{0}}$ را در$M$ در نظر بگیریم چون $M$ پایه بود لذا $span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} ) \neq V$ اگر به ازای هر $\lambda$ داشته باشیم $n_{ \lambda } \in span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} )$ آنگاه از آنجایی که $V$ توسط $N$ نیز تولید می شود و $N \subseteq span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} )$ لذا $span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} ) = V$ که تناقض است لذا $n_{{ \gamma }_{0}}$ ای وجود دارد که در $span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} )$ نیست. واز آنجایی که $n_{{ \gamma }_{0}} \in V$ داریم $n_{{ \gamma }_{0}} = \sum_{i=0}^n \alpha_{i} m_{{ \gamma }_{i}}$ که در آن $\alpha_{0} \neq 0$ است پس $m_{{ \gamma }_{0}}$ برحسب بقیه جملات بدست می آید

$$V=span(M) \subseteq span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} \bigcup \{n_{{ \gamma }_{0}}\})$$

و به سادگی دیده می شود که $M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} \bigcup \{n_{{ \gamma }_{0}}\}$ مستقل خطی نیز است لذا یک پایه برای $V$ است قرار می دهیم $\varphi (m_{{ \gamma }_{0}})=n_{{ \gamma }_{0}}$ از آنجایی که $M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} \bigcup \{n_{{ \gamma }_{0}}\}$ و $N=\{ n_{ \lambda } : \lambda \in I \}$ یک پایه برای $V$ بودند داریم $N \setminus \{n_{{ \gamma }_{0}}\}$ و $M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\}$ هردو پایه هایی برای $V \setminus span(n_{{ \gamma }_{0}})$ هستند و به طور مشابه به ازای هر عضو از $M$ عضو منحصربفردی از $N$ نظیر می شود. (از آنجایی که $m_{{ \gamma }_{i}}$بعد از نظیر شدن از فضا حذف می شود یک به یکی نتیجه می شود)