فرض کنید
A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &...& a_{1m} \\a_{21} & a_{22} &...& a_{2m} \\ \vdots & \vdots &...& \vdots \\a_{n1} & a_{n2} &...& a_{nm}\end{bmatrix} وx= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \end{bmatrix}
پس داریم:
Ax=\begin{bmatrix} a_{11}x_{1} +a_{12}x_{2} +...a_{1m}x_{m} \\a_{21}x_{1} +a_{22}x_{2} +...a_{2m}x_{m} \\ \vdots \\ a_{n1}x_{1} +a_{n2}x_{2} +...a_{nm}x_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}x_{1}+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}x_{m}
حال اثبات را انجام میدهیم فرض کنید
A دارای رتبه کامل ستونی باشد ثابت میکنیم اگر
x \neq y آنگاه
Ax \neq Ay از برهان خلف استفاده می کنیم فرض کنید
x \neq y ولی
Ax=Ay پس طبق آنچه در بالا گفته شد با آوردن همه به یک طرف تساوی داریم:
0=Ax-Ay= \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}(x_{1}-y_{1})+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}(x_{m} -y_{m})
اما از آنجایی که
A دارای رتبه ستونی کامل است لذا ستون هایش مستقل خطی هستند لذا باید
(x_{i}-y_{i})=0 یعنی
x=y که تناقض است.
فرض کنید اگر x \neq y آنگاه Ax \neq Ay باشد ثابت میکنیم که A دارای رتبه ستونی کامل است یعنی ستونهای آن مستقل خطی هستند. فرض کنید وجود داشته باشد x \neq 0 که
0= \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}x_{1}+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}x_{m}
میتوانیم بنویسیم :
0=\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}(x_{1}-0)+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}(x_{m}-0)=Ax-Ay
که در آن y بردار ستونی صفر است و چون x \neq 0 یعنی x \neq y ولی Ax=Ay که تناقض است.
