فرض کنید
$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &...& a_{1m} \\a_{21} & a_{22} &...& a_{2m} \\ \vdots & \vdots &...& \vdots \\a_{n1} & a_{n2} &...& a_{nm}\end{bmatrix} $ و$x= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{m} \end{bmatrix} $
پس داریم:
$$Ax=\begin{bmatrix} a_{11}x_{1} +a_{12}x_{2} +...a_{1m}x_{m} \\a_{21}x_{1} +a_{22}x_{2} +...a_{2m}x_{m} \\ \vdots \\ a_{n1}x_{1} +a_{n2}x_{2} +...a_{nm}x_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}x_{1}+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}x_{m} $$
حال اثبات را انجام میدهیم فرض کنید $A$ دارای رتبه کامل ستونی باشد ثابت میکنیم اگر $x \neq y $ آنگاه $Ax \neq Ay $ از برهان خلف استفاده می کنیم فرض کنید $x \neq y $ ولی $Ax=Ay $ پس طبق آنچه در بالا گفته شد با آوردن همه به یک طرف تساوی داریم:
$$0=Ax-Ay= \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}(x_{1}-y_{1})+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}(x_{m} -y_{m}) $$
اما از آنجایی که $ A $ دارای رتبه ستونی کامل است لذا ستون هایش مستقل خطی هستند لذا باید $ (x_{i}-y_{i})=0 $ یعنی $x=y $ که تناقض است.
فرض کنید اگر $x \neq y $ آنگاه $Ax \neq Ay $ باشد ثابت میکنیم که $A$ دارای رتبه ستونی کامل است یعنی ستونهای آن مستقل خطی هستند. فرض کنید وجود داشته باشد $ x \neq 0 $ که
$0= \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}x_{1}+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}x_{m} $
میتوانیم بنویسیم :
$0=\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{bmatrix}(x_{1}-0)+...+\begin{bmatrix} a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm} \end{bmatrix}(x_{m}-0)=Ax-Ay$
که در آن $ y$ بردار ستونی صفر است و چون $ x \neq 0 $ یعنی $ x \neq y $ ولی $Ax=Ay $ که تناقض است.
