Question

طراحی: نشان دهید هر دنباله به صورت:

$ \{t_{n} \}= n^2+n+b \textbf{ } (b,n\in \mathbb{N})$

تعدادی متناهی عدد مربّع کامل دارد.

Comments

اگر قرار دهیم: $a=b=4$ آنگاه دنباله همواره مربع کامل است.

$t_n=n^2+4n+4=(n+2)^2$

---

تصحیح شد
ممنون از توجه شما

Answer 1

$n² + n+b=m² \Rightarrow 4n²+4n+4b=4m²$ $(2n+1)²+4b-1=4m² \Rightarrow (2m-2n-1)(2m+2n+1)=4b-1$

چون حاصل ضرب دو پرانتز که عبارات داخل هر دو پرانتز طبیعی هستند؛ برابر با عددی طبیعی شده است، باید $m,n$ را طوری تعیین کرد که حاصل ضرب پرانتز ها برابر با $4b-1$ شود. از آنجایی که مجموعه شمارنده های یک عدد طبیعی، مجموعه ای متناهی است؛ برای $m,n$ تعداد حالت های محدودی به دست خواهد آمد؛ پس تعداد اعداد مربّع کامل متناهی است.