Question

اگر $ n\ \in \mathbb N$ نشان دهید $n! \leq ( \frac{n+1}{2} )^n$

راهنمایی : از واسطه حسابی - هندسی 2 تایی استفاده نمایید .

Answer 1

بنابر نامساوی بین میانگین حسابی و هندسی برای اعداد مثبت $x_1,x_2,...,x_n$ یعنی $$\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$

در اینجا داریم:

$$\begin{align}\sqrt[n]{n!}&=\sqrt[n]{n(n-1)\times ...\times 2\times 1}\\ &\leq \frac{n+(n-1)+...+2+1}{n}\\ &=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}=\frac{n+1}{2}\end{align}$$