$M=(a+b)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} )-4$

Question

اگر $a,b > 0$

$$M=(a+b)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} )-4$$

$M > 0(1$

$M < 0(2$

$M \leq 0(3$

$M \geq 0(4$

Comments

$M= \frac{(a-b)^{2}}{ab}  \geq 0$

گزینه ی آخر درسته کافیه مخرج مشترک بگیریم و از دورابطه ی $ (a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} +2ab  $و$a^{2} + b^{2} -2ab = (a-b)^{2} $ استفاده کنیم اگر دو عدد برابر باشند مقدار صفر می شود.

Answer 1

اگر از این نکته استفاده کنید:

اگر $x> 0$ آنگاه $x+\frac 1x\geq 2$

در این صورت داریم: $(a+b)(\frac1a+\frac1b)=1+1+\frac ab+\frac ba=2+\frac ab+\frac{1}{\frac ab}\geq 2+2=4$

یعنی گزینه 4 درسته.