بنابر نامساوی بین میانگین حسابی و هندسی برای اعداد مثبت $x_1,x_2,...,x_n$ یعنی
$$\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$
در اینجا داریم:
$$\begin{align}\sqrt[n]{n!}&=\sqrt[n]{n(n-1)\times ...\times 2\times 1}\\
&\leq \frac{n+(n-1)+...+2+1}{n}\\
&=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}=\frac{n+1}{2}\end{align}$$
