اگر $5!m!=n! , m\geq 4$ در اینصورت $m+n$ چقدر است؟

Question

تعریف فاکتوریل و مثالی از آن در زیر آمده:

$$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\times 2\times 1\\ 4!=4\times 3\times 2\times 1$$

اگر $5!m!=n! , m\geq 4$ در اینصورت $m+n$ چقدر است؟

Comments

شاید خیلی ها از فاکتوریل سوال داشته باشند. اگر همه بنویسند سوال از فاکتوریل بعدا چطوری سوالات از هم تفکیک شوند؟
پس لطفا عنوان مناسب بنویسید. از امکان تایپ ریاضی استفاده کنید.
برای حل مساله اقدامی کردید؟

---

سلام دوست عزیر- این یه تست ریاضی مال دانشگاه های خارج از کشوره- نمیدونستم چه عنوانی براش انتخاب کنم- شاید مثلا معادله فاکتوریل خوب باشه- از صبح دارم روش فکر میکنم واقعیتش حسابی اعصابمو خورد کرده -احساس میکنم سوالش اشتباهه- با سپاس از توجه شما دوست خوبم

---

من براتون ویرایش کردم. و عنوان مناسب براتون نوشتم. عنوان باید گویای سوال شمال در یکی دوجمله کوتاه باشد. سپس در متن باید سوال را با جزئیات کامل نوشته و تلاش خود را بنویسید.

Answer 1

پرسش اشتباه نیست. پنج‌فاکتوریل می‌شود ۱۲۰، اکنون اگر $m$ را ۱۱۹ بگذارید، قسمت $m!$ از یک تا ۱۱۹ را ضرب کرده است و قسمت $5!$ عدد ۱۲۰ را اضافه کرده‌است پس در کل برابر با $120!$ را دارید. در نتیجه $m=119$ که در شرط $m\geq 4$ صدق می‌کند و $n=120$. پس $m+n=239$.

Answer 2

ابتدا از رابطه $5!m!=n!$ میتوان فهمید که $n > m$ است . حال تمام مواردی که $n > m$ را بررسی میکنیم .

الف : فرض کنید که $n-m=1$ باشد در این صورت خواهیم داشت :

$$5!=n$$ در این صورت $n=120$ و $m=119$ است در نتیجه $n+m=239$ .

ب : فرض کنید که $n-m=2$ باشد در این صورت خواهیم داشت : $$120=n(n-1)$$ که این مورد امکان پذیر نیست زیرا $120$ نمیتواند به دو عامل متوالی تبدیل شود .

پ : فرض کنید که $n-m=3$ باشد در این صورت خواهیم داشت : $$5!=n(n-1)(n-2)=6 \times 5 \times 4$$ در این صورت $n=6$ و $m=3$ اما در شرایط سوال گفته باید $m \geq4$ پس این مورد را کنار میگذاریم .

ت : فرض کنید که $n-m=4$ باشد در این صورت خواهیم داشت : $$120=n(n-1)(n-2)(n-3)= 5\times 4 \times 3 \times 2$$ در این صورت $n=5$ و $m=1$ اما در شرایط سوال گفته باید $m \geq4$ پس این مورد را کنار میگذاریم .

ث :فرض کنید که $n-m=5$ باشد در این صورت خواهیم داشت : $$120=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)= 5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$ در این صورت $n=5$ و $m=0$ اما در شرایط سوال گفته باید $m \geq4$ پس این مورد را کنار میگذاریم . و همنطور در مورد هایی که $n-m > 6$ زیرا $120$ نمیتواند به عامل های بیشتر از $5$ متوالی تبدیل شود . در نتیجه فقط مورد الف در شرایط سوال صدق میکند .