ابتدا از رابطه $ 5!m!=n!$ میتوان فهمید که $n > m$ است . حال تمام مواردی که $n > m$ را بررسی میکنیم .
الف : فرض کنید که $n-m=1$ باشد در این صورت خواهیم داشت :
$$5!=n$$
در این صورت $n=120$ و $m=119$ است در نتیجه $n+m=239$ .
ب : فرض کنید که $n-m=2$ باشد در این صورت خواهیم داشت :
$$120=n(n-1)$$
که این مورد امکان پذیر نیست زیرا $120$ نمیتواند به دو عامل متوالی تبدیل شود .
پ : فرض کنید که $n-m=3$ باشد در این صورت خواهیم داشت :
$$5!=n(n-1)(n-2)=6 \times 5 \times 4$$
در این صورت $n=6$ و $m=3$ اما در شرایط سوال گفته باید $m \geq4$ پس این مورد را کنار میگذاریم .
ت : فرض کنید که $n-m=4$ باشد در این صورت خواهیم داشت :
$$120=n(n-1)(n-2)(n-3)= 5\times 4 \times 3 \times 2$$
در این صورت $n=5$ و $m=1$ اما در شرایط سوال گفته باید $m \geq4$ پس این مورد را کنار میگذاریم .
ث :فرض کنید که $n-m=5$ باشد در این صورت خواهیم داشت :
$$120=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)= 5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$
در این صورت $n=5$ و $m=0$ اما در شرایط سوال گفته باید $m \geq4$ پس این مورد را کنار میگذاریم .
و همنطور در مورد هایی که $n-m > 6$ زیرا $120$ نمیتواند به عامل های بیشتر از $5$ متوالی تبدیل شود . در نتیجه فقط مورد الف در شرایط سوال صدق میکند .
