برای اثبات فرض می کنیم $ N=\{ n_{ \lambda } : \lambda \in I \} $ و $ M=\{ m_{ \gamma } : \gamma \in J \} $ دو پایه برای فضای برداری $V $ باشند. ابتدا تابعی یک به یک $ \varphi :M \rightarrow N $ می سازیم لذا نتیجه می شود که $ card(M) \leq card(N)$ و به طور مشابه نشان داده می شود که $ card(N) \leq card(M) $ و حکم ثابت می شود.
عنصر دلخواه $m_{{ \gamma }_{0}} $ را در$M $ در نظر بگیریم چون $M$ پایه بود لذا $span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} ) \neq V$ اگر به ازای هر $ \lambda $ داشته باشیم
$n_{ \lambda } \in span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} ) $ آنگاه از آنجایی که $V $ توسط
$ N$ نیز تولید می شود و $N \subseteq span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} ) $ لذا $span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} ) = V$ که تناقض است لذا $n_{{ \gamma }_{0}} $ ای وجود دارد که در $span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} ) $ نیست. واز آنجایی که $n_{{ \gamma }_{0}} \in V $ داریم
$n_{{ \gamma }_{0}} = \sum_{i=0}^n \alpha_{i} m_{{ \gamma }_{i}}$
که در آن $ \alpha_{0} \neq 0 $ است پس $m_{{ \gamma }_{0}} $ برحسب بقیه جملات بدست می آید
$$V=span(M) \subseteq span(M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} \bigcup \{n_{{ \gamma }_{0}}\}) $$
و به سادگی دیده می شود که $M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} \bigcup \{n_{{ \gamma }_{0}}\} $ مستقل خطی نیز است لذا یک پایه برای $V$ است قرار می دهیم $ \varphi (m_{{ \gamma }_{0}})=n_{{ \gamma }_{0}}$
از آنجایی که $M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} \bigcup \{n_{{ \gamma }_{0}}\} $ و $ N=\{ n_{ \lambda } : \lambda \in I \} $ یک پایه برای $V$ بودند داریم $N \setminus \{n_{{ \gamma }_{0}}\} $ و
$M \setminus \{m_{{ \gamma }_{0}}\} $ هردو پایه هایی برای $V \setminus span(n_{{ \gamma }_{0}})$ هستند و به طور مشابه به ازای هر عضو از $M$ عضو منحصربفردی از $N$ نظیر می شود.
(از آنجایی که $ m_{{ \gamma }_{i}} $بعد از نظیر شدن از فضا حذف می شود یک به یکی نتیجه می شود)
