به وضوح باید $ d>1 $ و به ازای هر $u \in G(I) $ دو متغییر متمایز
$ u $ را عاد می کنند(چرا؟)پس وجود دارند $ i \neq j $ که
$ x_{i} x_{j} \mid u $
ابتدا نشان می دهیم به ازای هر $ V= {x_{i}}^{ \alpha } $ داریم $V \notin \widetilde{I} $ یعنی به ازای هر $ k $ داریم: $V \notin I:m^{k} $
می دانیم $x_{i} \in m $ لذا $ {x_{i}}^{k } \in m^{k} $ اگر $ V \in I:m^{k} $ باید $ {x_{i}}^{k }V={x_{i}}^{k+ \alpha } \in I $ اما چنین نیست چون اگر ${x_{i}}^{k+ \alpha } \in I $ آنگاه باید $u \in G(I) $ موجود باشد که $u \mid {x_{i}}^{k+ \alpha }$ یعنی فقط یک متغییر $ u $ را عاد می کند و این تناقض است.
پس به ازای هر $u \in \widetilde{I}$وجود دارند $ i \neq j $ که
$ x_{i} x_{j} \mid u $ یعنی
$$\widetilde{I} \subseteq <\{ x_{i} x_{j} : i \neq j \}> $$
حال نشان می دهیم که $<\{ x_{i} x_{j} : i \neq j \}> \subseteq \widetilde{I} $
فرض کنید $ x_{i} x_{j} $ دلخواه باشد نشان می دهیم $ x_{i} x_{j} \in I: m^{d-2} $ و این نشان می دهد که $x_{i} x_{j} \in \widetilde{I}$
فرض کنید $ u \in G(m^{d-2}) $ دلخواه باشد لذا $ u= {x_{1}}^{ \beta _{1} }...{x_{n}}^{ \beta _{n} } $ که $\beta _{1}+...+\beta _{n}=d-2 $ و $\beta _{r} \leq d-2 $( که$ 1 \leq r \leq n $) پس
$x_{i} x_{j}u={x_{1}}^{ \beta _{1} }...{x_{i}}^{ \beta _{i}+1 } ...{x_{j}}^{ \beta _{j}+1 } ...{x_{n}}^{ \beta _{n} } $ که $\beta _{1}+...+\beta _{n}+2=d-2+2=d $
و این حکم را ثابت خواهد کرد.
اولا به ازای هر $ V= {x_{i}}^{ \alpha } $ داریم $V \notin \sqrt{I} $
فرض کنید چنین نباشد و $V \in \sqrt{I} $ پس یک $ k $ وجود دارد که $({x_{i}}^{ \alpha })^{k} \in I $ آنگاه باید $u \in G(I) $ موجود باشد که $u \mid {x_{i}}^{k+ \alpha }$ یعنی فقط یک متغییر $ u $ را عاد می کند و این تناقض است.
پس به ازای هر $u \in \sqrt{I} $وجود دارند $ i \neq j $ که
$ x_{i} x_{j} \mid u $ یعنی
$$\sqrt{I} \subseteq <\{ x_{i} x_{j} : i \neq j \}> $$
حال نشان می دهیم که $<\{ x_{i} x_{j} : i \neq j \}> \subseteq \sqrt{I} $فرض کنید $ x_{i} x_{j} $ دلخواه باشد نشان می دهیم $k $ وجود دارد که$ (x_{i} x_{j}) ^{k} \in I $
$$ (x_{i} x_{j}) ^{d}= (x_{i}^{d-1} x_{j}) (x_{i} x_{j}^{d-1}) \in I $$
