اگر $I$ یک ایده آل باشد یک کران پایین برای$dim \frac{K[ x_{1} ,... x_{n} ]}{I} $ بیابید.

Question

فرض کنید که $I$ یک ایده آل باشد و ${ x_{1} ^{ d_{1} } ,... x_{n} ^{ d_{n} } }$ قسمتی از مجموعه مولد مینیمال برای $I$ باشد.نشان دهید $$ d_{1} + d_{2} +... d_{n} -n+1 \leq dim \frac{K[ x_{1} ... x_{n} ]}{I} $$

Answer 1

می دانیم که $ u \in Mon(S) $ که $ u \notin Mon(I) $ یک $ K $ پایه بری $ \frac{S}{I} $ تشکیل می دهند.

از اینکه $ { x_{i}}^{d_{i}} $ عضو مینیمال مولد $I $ است نتیجه میگیریم که عناصر $ x_{i} $ و...و $ { x_{i}}^{ d_{i} -1} $ در $ Mon(I) $ نیستند. همچنین $ 1 \notin Mon(I) $ پس این عنصر با عناصر بالا جزو پایه قرار خواهند گرفت که تعداد این عناصر برابر است با $d_{1} -1+...+d_{n} -1+1=d_{1}+...+d_{n} -n +1$

این یعنی حداقل تعداد اعضای پایه برابر $d_{1}+...+d_{n} -n +1 $ است پس $dim _{K} \frac{S}{I} \geq d_{1}+...+d_{n} -n +1$