اگر $J$ پولارایز $I$ باشد آنگاه $\frac{S}{I} = \frac{ \frac{T}{J} }{ \frac{T}{(y- x_{j}) \frac{T}{J} } }$

Question

اگر$y - x_{i}$ مقسوم علیه غیر صفر $j$ باشد.نشان دهید $\frac{S}{I} = \dfrac{ \frac{T}{J} }{ \frac{T}{(y- x_{j}) \frac{T}{J} } }$ است.که $S$و $T$ چند جمله ای های معرفی شده در مثال $1.6.1$هستند.

Answer 1

برای حل سوال ابتدا تعریف میکنیم $\varphi : \frac{T}{J} \rightarrow \frac{S}{I}$ که در آن $x_{i} +J \longmapsto x_{i} + I$ و $y+J \longmapsto x_{j} + I$ است بوضوح پوشا است و کافیست هسته ی $\varphi$ را بیابیم و ثابت کنیم $ker(\varphi )=(y- x_{j}) \frac{T}{J}$

با توجه به نحوه ی تعریف نگاشت برای عناصری که $y$ ندارند نگاشت همانی است واگر تصویر در $I$ باشد خود ورودی در $J$ قرار میگیرد یعنی آن عنصر در دامنه صفر است. و اگر$y \mid f$ آنگاه چون $I$ مونومیال ایده آل است تک تک عناصر محمل تصویر در $I$ قرار میگیرند پس طبق تعریف $u \in G(I)$ وجود دارد که $u \mid \varphi (f)$ و لذا پولارایز همان $u$ خود عنصر اولیه را عاد میکند یعنی باز آن عنصر در دامنه صفر است.

تنها حالتی میماند که تصویر عضوی غیر صفر از دامنه واقعا صفر شود یعنی $\varphi (f)=0$ حال جملاتی که $y$ دارند را کنار هم و جملاتی که $y$ ندارند را با هم مینویسیم یعنی $f=ay+b$ لذا $\varphi (ay)=-\varphi (b)$ وچون $y+J \longmapsto x_{j} + I$ پس طرف اول توسط $x_{j}$ عاد می شود لذا طرف دوم یعنی $\varphi (b)$ توسط $x_{j}$ عاد می شود چون $\varphi$ روی این عنصر همانی کار میکند یعنی $x_{j} \mid b$ و همچنین $\varphi (a)=\varphi (- \frac{b}{x_{j} } )$ , fh وباز چون $\varphi$ روی این عناصر مثل همانی عمل میکند لذا $a= - \frac{b}{x_{j} }$ پس $f=ay-x_{j}a$