برای حل سوال ابتدا تعریف میکنیم $ \varphi : \frac{T}{J} \rightarrow \frac{S}{I}$
که در آن $ x_{i} +J \longmapsto x_{i} + I$ و $ y+J \longmapsto x_{j} + I$ است بوضوح پوشا است و کافیست هسته ی $\varphi $ را بیابیم و ثابت کنیم $ker(\varphi )=(y- x_{j}) \frac{T}{J}$
با توجه به نحوه ی تعریف نگاشت برای عناصری که $y$ ندارند نگاشت همانی است واگر تصویر در $I$ باشد خود ورودی در $J$ قرار میگیرد یعنی آن عنصر در دامنه صفر است. و اگر$y \mid f $ آنگاه چون $I $ مونومیال ایده آل است تک تک عناصر محمل تصویر در $ I $ قرار میگیرند پس طبق تعریف $ u \in G(I) $ وجود دارد که $u \mid \varphi (f) $ و لذا پولارایز همان $ u $ خود عنصر اولیه را عاد میکند یعنی باز آن عنصر در دامنه صفر است.
تنها حالتی میماند که تصویر عضوی غیر صفر از دامنه واقعا صفر شود یعنی $\varphi (f)=0 $ حال جملاتی که $y$ دارند را کنار هم و جملاتی که $y$ ندارند را با هم مینویسیم یعنی $f=ay+b$ لذا $ \varphi (ay)=-\varphi (b) $ وچون $ y+J \longmapsto x_{j} + I$ پس طرف اول توسط $ x_{j} $ عاد می شود لذا طرف دوم یعنی $\varphi (b)$ توسط $ x_{j} $ عاد می شود چون $ \varphi $ روی این عنصر همانی کار میکند یعنی $x_{j} \mid b $ و همچنین $ \varphi (a)=\varphi (- \frac{b}{x_{j} } ) $ , fh وباز چون $ \varphi $ روی این عناصر مثل همانی عمل میکند لذا $a= - \frac{b}{x_{j} } $ پس $f=ay-x_{j}a $
