اگر $I$ ایده آلی پایه دار یا آزاد از مربع پایه دار باشد آنگاه به طور مولفه ای خطی است

Question

فرض می‌کنیم که I ایده‌آلی پایدار(stable) یا آزاد از مربع پایدار باشد، نشان دهید که I به طور مولفه‌ای خطی است. (Componentwise linear ) و عکس آن لزوما برقرار نیست. یعنی ایده آل به طور مولفه‌ای خطی را می توان یافت که پایدار نباشد.

Answer 1

فرض می‌کنیم که $I$ یک ایده آل پایدار باشد آنگاه مولفه‌های $I_{< j >}$ نیز پایدار می باشند و ایده آل های پایداری که توسط مولدهای از یک درجه تولید می‌شوند تحلیل خطی دارند. پس $I$ به طور مولفه‌ای خطی یا componentwise linear است.