از آنجایی که$ A $ قلمرو صحیح است لذا ایده ال $(0) $ یک ایده آل اول است.(چرا؟}
نکته: هر ایده آل اول، تحویل ناپذیر است.
اثبات نکته بالا: فرض کنید $p$ ایده آلی اول باشد. و فرض کنید $ p= I_{1} \cap I_{2} $ نشان میدهیم $ p= I_{1} $ یا $p= I_{2} $
می دانیم $ I_{1} I_{2} \subseteq I_{1} \cap I_{2}=p$ و چون $p $ اول است لذا یا $ I_{1} \subseteq p$ یا $ I_{2} \subseteq p$
بدون کاستن از کلیت فرض کنید که $ I_{1} \subseteq p = I_{1} \cap I_{2}$ و این نشان میدهد که $ I_{1} \subseteq I_{2} $ پس $ I_{1} \cap I_{2}= I_{1}$و این حکم را ثابت می کند.
