اگر A حوزه صحیح باشد ,آنگاه (0) در A ایده آل تحویل ناپذیر است.

Question

ثابت کنید اگر A حوزه صحیح باشد ,آنگاه (0) در A ایده آل تحویل ناپذیر است.

Answer 1

از آنجایی که$A$ قلمرو صحیح است لذا ایده ال $(0)$ یک ایده آل اول است.(چرا؟}

نکته: هر ایده آل اول، تحویل ناپذیر است.

اثبات نکته بالا: فرض کنید $p$ ایده آلی اول باشد. و فرض کنید $p= I_{1} \cap I_{2}$ نشان میدهیم $p= I_{1}$ یا $p= I_{2}$

می دانیم $I_{1} I_{2} \subseteq I_{1} \cap I_{2}=p$ و چون $p$ اول است لذا یا $I_{1} \subseteq p$ یا $I_{2} \subseteq p$

بدون کاستن از کلیت فرض کنید که $I_{1} \subseteq p = I_{1} \cap I_{2}$ و این نشان میدهد که $I_{1} \subseteq I_{2}$ پس $I_{1} \cap I_{2}= I_{1}$و این حکم را ثابت می کند.