0 در R تحویل ناپذیر است اگر و تنها اگر (0) در A تحویل ناپذیر باشد.

Question

ثابت کنید 0 در R تحویل ناپذیر است اگر و تنها اگر (0) در A تحویل ناپذیر باشد.

Answer 1

فرض کنید که 0 عضوی تحویل ناپذیر باشد لذا به صورت $ab$ که هم $a$ و هم $b$ غیر یکه هستند، نمیتوان آن را نوشت.

نشان میدهیم که $(0)$ ایده آلی تحویل ناپذیر است.

فرض خلف: فرض کنید تحوبل پذیر باشد لذا میتوان نوشت $(0)= I_{1} \cap I_{2}$ که در آن $I_{1} \neq (0)$و $I_{2} \neq (0)$

از اینکه $I_{1} \neq (0)$ لذا وجود دارد $a \in I_{1} \setminus (0)$، این عنصر یکه نیست (چرا؟) به طور مشابه وجود دارد $b \in I_{2} \setminus (0)$ اما

$$ab \in I_{1} I_{2} \subseteq I_{1} \cap I_{2}=(0)$$ یعنی $ab \in (0)$ پس $ab=0$ واین خلاف فرض است. پس فرض خلف باطل و حکم اثبات شد.

برای برعکس هم میتوان از فرض خلف استفاده کرد یعنی فرض کنیم $0=ab$ کافیست قرار دهیم $I_{1}=(a)$ و $I_{2}=(b)$