مقایسه رادیکالها

Question

عبارتهای $\sqrt[ 7]{ 7}$ و $\sqrt[ 5]{ 5}$ و $\sqrt[3 ]{ 3}$ و $\sqrt[ 2]{ 2}$ را از کوچک به بزرگ مرتب کنید؟ به طور کلی می توان بین $\sqrt[ a]{ a}$ و $\sqrt[ a+1]{a+1 }$ علامت کوچکتر یا بزرگتر قرار داد؟

Answer 1

اگر $1 \leq a < b$ آنگاه به ازای $n \in \mathbb{N}$ داریم $a^{n} < b^{n}$

پس اگر ک.م.م فرجه ها را بدست آوریم و طرفین را به توان برسانیم اعداد صحیحی بدست می آیند کافیه آنها را مقایسه کنیم:

در این سوال ابتدا 2 عدد اول را مقایسه میکنیم(اگر هر 4 عدد را درنظر بگیریم ک.م.م خیلی بزرگ بدست می آید) ک.م.م فرجه ها یعنی $2,3$ برابر است با $6$

$$\sqrt{2} ^{6}= 2^{3}=8$$ $$\sqrt[3]{3}^{6}=3^{2} =9$$ پس $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$

برای $\sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[3]{3}$ داریم ک.م.م برابر $15$ است لذا

$$\sqrt[3]{3}^{15}=3^{5} =243$$ $$\sqrt[5]{5}^{15}=5^{3} =125$$ پس $\sqrt[5]{5} < \sqrt[3]{3}$ برای $\sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[2]{2}$ داریم ک.م.م برابر $10$ است لذا $$\sqrt[2]{2}^{10}=2^{5} =32$$ $$\sqrt[5]{5}^{10}=5^{2} =25$$ پس $\sqrt[5]{5} < \sqrt[2]{2}$

برای $\sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[7]{7}$ داریم ک.م.م برابر $35$ است لذا

$$\sqrt[7]{7}^{35}=7^{5} =16807$$ $$\sqrt[5]{5}^{35}=5^{7} =78125$$ پس $\sqrt[7]{7} < \sqrt[5]{5}$

پس در کل داریم:

$$\sqrt[7]{7} < \sqrt[5]{5} < \sqrt[2]{2} < \sqrt[3]{3}$$

اما در حالت کلی برای مقایسه $\sqrt[a]{a}$ و $\sqrt[a+1]{a+1}$ طرفین را به توان $a(a+1)$ می رسانیم داریم:

$$\sqrt[a]{a}^{a(a+1)}=a^{a+1}= \underbrace{ a^{a} +...+ a^{a}}_{a تا}$$ $$\sqrt[a+1]{a+1} ^{a(a+1)}=(a+1)^{a}= \sum_{k=0}^a {a\choose{k}}a^{a-k}$$

پس باید ${a\choose{k}}a^{a-k}$ را با $a^{a}$ مقایسه کنیم که برای $a>2$ داریم ${a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a}$ (چرا؟) پس

$$\sum_{k=0}^a {a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a+1} \Rightarrow \sqrt[a+1]{a+1} < \sqrt[a]{a}$$

Comments

ممنون از پاسختون.
فقط عبارت ${a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a}$ برای $k=0,1$ برقرار نیست.

---

حق با شماست برای این دو تساوی برقرار است ولی برای بقیه برقرار است. چون $a$ از 2 بزرگتر است لذا حداقل یک $k$ وجود دارد که کوچکتری برقرار است.