اگر $ 1 \leq a < b $ آنگاه به ازای $n \in \mathbb{N} $ داریم $ a^{n} < b^{n} $
پس اگر ک.م.م فرجه ها را بدست آوریم و طرفین را به توان برسانیم اعداد صحیحی بدست می آیند کافیه آنها را مقایسه کنیم:
در این سوال ابتدا 2 عدد اول را مقایسه میکنیم(اگر هر 4 عدد را درنظر بگیریم ک.م.م خیلی بزرگ بدست می آید) ک.م.م فرجه ها یعنی $ 2,3$ برابر است با $ 6 $
$$ \sqrt{2} ^{6}= 2^{3}=8 $$
$$ \sqrt[3]{3}^{6}=3^{2} =9 $$
پس $ \sqrt{2} < \sqrt[3]{3} $
برای $ \sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[3]{3} $ داریم ک.م.م برابر $15$ است لذا
$$ \sqrt[3]{3}^{15}=3^{5} =243 $$
$$ \sqrt[5]{5}^{15}=5^{3} =125 $$
پس $\sqrt[5]{5} < \sqrt[3]{3} $
برای $ \sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[2]{2} $ داریم ک.م.م برابر $10$ است لذا
$$ \sqrt[2]{2}^{10}=2^{5} =32 $$
$$ \sqrt[5]{5}^{10}=5^{2} =25 $$
پس $\sqrt[5]{5} < \sqrt[2]{2} $
برای $ \sqrt[5]{5}$ و $\sqrt[7]{7} $ داریم ک.م.م برابر $35$ است لذا
$$ \sqrt[7]{7}^{35}=7^{5} =16807 $$
$$ \sqrt[5]{5}^{35}=5^{7} =78125 $$
پس $\sqrt[7]{7} < \sqrt[5]{5} $
پس در کل داریم:
$$\sqrt[7]{7} < \sqrt[5]{5} < \sqrt[2]{2} < \sqrt[3]{3} $$
اما در حالت کلی برای مقایسه $ \sqrt[a]{a} $ و $ \sqrt[a+1]{a+1} $
طرفین را به توان $a(a+1)$ می رسانیم داریم:
$$ \sqrt[a]{a}^{a(a+1)}=a^{a+1}= \underbrace{ a^{a} +...+ a^{a}}_{a تا} $$
$$ \sqrt[a+1]{a+1} ^{a(a+1)}=(a+1)^{a}= \sum_{k=0}^a {a\choose{k}}a^{a-k} $$
پس باید $ {a\choose{k}}a^{a-k} $ را با $a^{a}$ مقایسه کنیم که برای $a>2$ داریم $ {a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a} $ (چرا؟) پس
$$ \sum_{k=0}^a {a\choose{k}}a^{a-k} < a^{a+1} \Rightarrow \sqrt[a+1]{a+1} < \sqrt[a]{a}$$
