در هر ذوزنقه مجموع مربعات قطرها برابر است با مجموع مربعات ساق ها به اضافه ی دوبرابر حاصلضرب دو قاعده

Question

ثابت کنید در هر ذوزنقه مجموع مربعات قطرها برابر است با مجموع مربعات ساق ها به اضافه ی دوبرابر حاصلضرب دو قاعده

Answer 1

طبق شکل زیر ارتفاع های ذوزنقه را رسم می کنیم: می خواهیم ثابت کنیم: $$ a^{2}+ b^{2}= A^{2}+ B^{2}+2CD $$ روابط زیر با استفاده از قضیه فیثاغورث به دست می آیند:

در مثلثهای $2 H_{1} 3 $ ، $1 H_{2} 3 $، $1 H_{2} 4 $ ،$2 H_{1} 4 $ داریم:

$$(C+x)+ h^{2}= a^{2}(1) $$ $$(C+y)+ h^{2}= b^{2}(2) $$ $$ x^{2}+ h^{2}= A^{2}(3) $$ $$ y^{2} + h^{2}= B^{2}(4) $$ $$x+C+y=D(5)$$ از رابطه های (1) و (3) و همچنین از رابطه های (2) و (4) با حذف $ h^{2} $ داریم: $$ a^{2}- C^{2}-2Cx= A^{2} $$ $$ b^{2}- C^{2}-2Cy= B^{2} $$ با جمع کردن طرفین این رابطه ها داریم: $$ a^{2}+b^{2} -2C(x+y+C)= A^{2}+B^{2} $$ با قرار دادن رابطه (5) در این رابطه حکم حاصل می شود:

$$ a^{2}+ b^{2}= A^{2}+ B^{2}+2CD $$