در هر ذوزنقه مجموع مربعات قطرها برابر است با مجموع مربعات ساق ها به اضافه ی دوبرابر حاصلضرب دو قاعده

Question

ثابت کنید در هر ذوزنقه مجموع مربعات قطرها برابر است با مجموع مربعات ساق ها به اضافه ی دوبرابر حاصلضرب دو قاعده

Answer 1

طبق شکل زیر ارتفاع های ذوزنقه را رسم می کنیم: می خواهیم ثابت کنیم:

$$a^{2}+ b^{2}= A^{2}+ B^{2}+2CD$$ روابط زیر با استفاده از قضیه فیثاغورث به دست می آیند:

در مثلثهای $2 H_{1} 3$ ، $1 H_{2} 3$، $1 H_{2} 4$ ،$2 H_{1} 4$ داریم:

$$(C+x)+ h^{2}= a^{2}(1)$$ $$(C+y)+ h^{2}= b^{2}(2)$$ $$x^{2}+ h^{2}= A^{2}(3)$$ $$y^{2} + h^{2}= B^{2}(4)$$ $$x+C+y=D(5)$$ از رابطه های (1) و (3) و همچنین از رابطه های (2) و (4) با حذف $h^{2}$ داریم: $$a^{2}- C^{2}-2Cx= A^{2}$$ $$b^{2}- C^{2}-2Cy= B^{2}$$ با جمع کردن طرفین این رابطه ها داریم: $$a^{2}+b^{2} -2C(x+y+C)= A^{2}+B^{2}$$ با قرار دادن رابطه (5) در این رابطه حکم حاصل می شود:

$$a^{2}+ b^{2}= A^{2}+ B^{2}+2CD$$