به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
35 بازدید
در دبیرستان توسط Ms181381
ویرایش شده توسط good4us

با سلا م و خسته نباشید با کمک گرفتن از قضیه کسینوس ها ثابت کنید در هر متوازی الاضلاع مجموع مربعات اقطار با مجموع مربعات اضلاع برابر است

مرجع: نمونه سوالات جمع آوری شده از فصل سه هندسه یازدهم

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط rafig256

در شکل زیر زاویه A را با $ \alpha $ و زاویه B را با $ \beta $ نمایش می دهیم. enter image description here برای مثلت ABC قانون کسینوس ها را بر حسب زاویه B می نویسیم:

رابطه اول $ ( \overline{AC} )^{2}=( \overline{AB} )^{2}+( \overline{BC} )^{2}- 2( \overline{AB} )( \overline{BC} )cos( \beta ) $

یک مرتبه نیز قانون کسینوس ها برای مثلت ABD بر حسب زاویه A می نویسیم.

رابطه دوم $ ( \overline{BD} )^{2}=( \overline{BC} )^{2}+( \overline{CD} )^{2}- 2( \overline{BC} )( \overline{CD} )cos( \alpha ) $

حال طرفین رابطه یک و دو را به هم جمع می کنیم. خواهیم داشت:

$ ( \overline{AC} )^{2}+( \overline{BD} )^{2}=( \overline{AB} )^{2}+( \overline{BC} )^{2}+ ( \overline{BC} )^{2}+( \overline{CD} )^{2}-2( \overline{AB}) ( \overline{BC})cos( \beta )- 2( \overline{BC} )( \overline{CD} )cos( \alpha ) $

حال با توجه به اینکه شکل متواضی الاضلا است می توانیم به جای BC مقدار AD و همینطور به جای CD مقدار ضلع برابر آن یعنی AB را بگذاریم. پس با توجه در باطبه آخر می بینم که می توانیم در دو جمله آخر از عبارت $ - 2( \overline{AB} )( \overline{AD} )$ فاکتور بگیریم. پس داریم:

$ ( \overline{AC} )^{2}+( \overline{BD} )^{2}=( \overline{AB} )^{2}+( \overline{BC} )^{2}+ ( \overline{BC} )^{2}+( \overline{CD} )^{2}-2( \overline{AB}) ( \overline{AD})(cos( \alpha )+ cos( \beta )) $

حال می توانیم از رابطه تبدیل حاصلجمع کسینوس ها به حاصلضرب استفاده کنیم. به کمک این رابطه ذیلا نشان می دهیم که $cos( \alpha )+ cos( \beta ) $ برابر صفر است:

enter image description here

می دانیم زاویه های مجاور در متوازی الاضلاع مکمل هم هستند بنابراین $( \frac{ \alpha + \beta }{2} )= \frac{180}{2}=90 $

پس از آنجا که cos(90)=0 است حاصلضرب ان در مابقی عبارت نیز صفر خواهد شد. لذا حاضلجمع کسیونو دو زاویه برابر صفر است. پس خواهیم داشت:

$ ( \overline{AC} )^{2}+( \overline{BD} )^{2}=( \overline{AB} )^{2}+( \overline{AD} )^{2}+ ( \overline{BC} )^{2}+( \overline{CD} )^{2} $.

$ \Box $ دقت کنید که هر جا نیاز بوده از برابری اضلاع استفاده شده است و اضلاع برابر به جای یکدیگر استفاده شده اند. در صورتی که در هر بخش ابهامی دارید در دیدگاه ها مطرح کنید تا توضیحات تکمیلی ارائه شود.

سال نو مبارک!


حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...