به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
660 بازدید
در دبیرستان توسط asal4567

ثابت كنيد كه در يك چهار ضلعي اگرمجموع مربعات اضلاع با مجموع مربعات قطرها برابر باشد. ان چهار ضلعي متوازي الضلاع است.. تشكر

توسط fardina
+1
یک چهار ضلعی رسم کنید ABCD بعد با نوشتن قانون کسینوس ها و فرض مساله ثابت می کنید $\cos A=-\cos B$ و از این نتیجه میشه $A+B=180^\circ$ و به طور مشابه مجموع هر دو زاویه مجاور میشه $180$ بنابراین چهارضلعی متوازی الاضلاع است!(البته باید بدونید یا بتونید ثابت کنید که اگر در یک چهارضلعی مجموع زوایای مجاور $180$ درجه بشه اونوقت چهار ضلعی متوازی الاضلاع است)
لطفا تلاشتونو با توجه به این راهنمایی بنویسید و بذارید من ببینم چکار کردید.
توسط asal4567
+1
@fardina
ممنون بابت راهنمايي فقط
بايد براي قطر ها قانون كسينوس ها رو بنويسم يعني د واقع چهار تا قانون كسينوس بايد بنويسم بعد با هم جمع كنم بعد با فرض سوال حل كنم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm

enter image description here

قانون کسینوسها را می نویسیم:

$$ R^{2} = a^{2} + b^{2} -2abcos(A)$$ $$ R^{2} = c^{2} + d^{2} -2cdcos(C)$$ $$ S^{2} = c^{2} + b^{2} -2cbcos(B)$$

$$ S^{2} = a^{2} + d^{2} -2adcos(D)$$ اگر دو رابطه اول را در نظر بگیریم طرف اول هر دو برابر است لذا طرفهای دوم نیز برابر هستند داریم:

$$a^{2} + b^{2} -2abcos(A)=c^{2} + d^{2} -2cdcos(C) \Rightarrow $$ $$a^{2} + b^{2}-c^{2} - d^{2}=2abcos(A)-2cdcos(C) $$ بطور مشابه از دو رابطه آخر داریم: $$a^{2} + b^{2}-c^{2} - d^{2}=2adcos(D) -2cbcos(B) $$ که طرف اول هر دو برابر هستند لذا طرف های دوم هم برابر هستند لذا داریم: $$2abcos(A)-2cdcos(C)= 2adcos(D) -2cbcos(B) \Rightarrow $$ $$2abcos(A)+2cbcos(B)= 2adcos(D)+2cdcos(C) \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

حال طرفین 4 رابطه ی اولیه را اگر باهم جمع کنیم خواهیم داشت: $$2a^{2} +2 b^{2}+2c^{2} +2d^{2}$$ $$-2abcos(A)-2cdcos(C)-2cbcos(B) -2adcos(D)$$ $$=2R^{2}+2 S^{2}$$ حال اگر فرض مساله را بکار ببریم خواهیم داشت: $$-2abcos(A)-2cdcos(C)-2cbcos(B) -2adcos(D)=0$$ و حال با بکار بردن رابطه ی $(1)$ داریم: $$ 4abcos(A)+4cbcos(B)=0 \Rightarrow 4b(acos(A)+ccos(B))=0$$ و این یعنی $ acos(A)+ccos(B)=0 $ به طور مشابه $ acos(D)+ccos(C)=0$

حال داریم: $$- \frac{a}{c}= \frac{cos(B)}{cos(A)} $$ $$- \frac{a}{c}= \frac{cos(C)}{cos(D)} $$ لذا داریم: $$cos(B)cos(D)=cos(A)cos(C) \Rightarrow 2cos(B)cos(D)=2cos(A)cos(C) \Rightarrow $$ $$cos(B+D)+cos(B-D)=cos(A+C)+cos(A-C)$$ اما از اینکه $A+B+C+D=360$ داریم:$ cos(B+D)=cos(A+C) $ پس با حذف از طرفین داریم:$cos(B-D)= cos(A-C) $ پس با توجه به اینکه زاویه ها بین صفر تا 180 درجه و مثبت هستند داریم که باید $B-D=A-C$ یعنی $A+D=B+C$ و چون مجموع زوایا 360 است لذا $A+D=B+C=180$

یا $B-D=C-A$ یعنی $A+B=D+C$ و چون مجموع زوایا 360 است لذا $A+B=D+C=180$

توسط erfanm
+1
سلام
یکی از دوستان اشکالی تو اثبات پیدا کردند.
حق با ایشونه ان شاءالله به زودی جواب رو ویرایش و اصلاح می کنم

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...