در شکل زیر زاویه A را با $ \alpha $ و زاویه B را با $ \beta $ نمایش می دهیم.
برای مثلت ABC قانون کسینوس ها را بر حسب زاویه B می نویسیم:
| رابطه اول |
$ ( \overline{AC} )^{2}=( \overline{AB} )^{2}+( \overline{BC} )^{2}- 2( \overline{AB} )( \overline{BC} )cos( \beta ) $
|
یک مرتبه نیز قانون کسینوس ها برای مثلت ABD بر حسب زاویه A می نویسیم.
| رابطه دوم |
$ ( \overline{BD} )^{2}=( \overline{BC} )^{2}+( \overline{CD} )^{2}- 2( \overline{BC} )( \overline{CD} )cos( \alpha ) $
|
حال طرفین رابطه یک و دو را به هم جمع می کنیم. خواهیم داشت:
$ ( \overline{AC} )^{2}+( \overline{BD} )^{2}=( \overline{AB} )^{2}+( \overline{BC} )^{2}+
( \overline{BC} )^{2}+( \overline{CD} )^{2}-2( \overline{AB}) ( \overline{BC})cos( \beta )- 2( \overline{BC} )( \overline{CD} )cos( \alpha )
$
حال با توجه به اینکه شکل متواضی الاضلا است می توانیم به جای BC مقدار AD و همینطور به جای CD مقدار ضلع برابر آن یعنی AB را بگذاریم. پس با توجه در باطبه آخر می بینم که می توانیم در دو جمله آخر از عبارت $ - 2( \overline{AB} )( \overline{AD} )$ فاکتور بگیریم. پس داریم:
$ ( \overline{AC} )^{2}+( \overline{BD} )^{2}=( \overline{AB} )^{2}+( \overline{BC} )^{2}+
( \overline{BC} )^{2}+( \overline{CD} )^{2}-2( \overline{AB}) ( \overline{AD})(cos( \alpha )+ cos( \beta ))
$
حال می توانیم از رابطه تبدیل حاصلجمع کسینوس ها به حاصلضرب استفاده کنیم. به کمک این رابطه ذیلا نشان می دهیم که $cos( \alpha )+ cos( \beta ) $ برابر صفر است:
می دانیم زاویه های مجاور در متوازی الاضلاع مکمل هم هستند بنابراین $( \frac{ \alpha + \beta }{2} )= \frac{180}{2}=90 $
پس از آنجا که cos(90)=0 است حاصلضرب ان در مابقی عبارت نیز صفر خواهد شد. لذا حاضلجمع کسیونو دو زاویه برابر صفر است. پس خواهیم داشت:
$ ( \overline{AC} )^{2}+( \overline{BD} )^{2}=( \overline{AB} )^{2}+( \overline{AD} )^{2}+
( \overline{BC} )^{2}+( \overline{CD} )^{2}
$.
$ \Box $
دقت کنید که هر جا نیاز بوده از برابری اضلاع استفاده شده است و اضلاع برابر به جای یکدیگر استفاده شده اند. در صورتی که در هر بخش ابهامی دارید در دیدگاه ها مطرح کنید تا توضیحات تکمیلی ارائه شود.
