جمله ی چهارم بسط $( ( \sqrt{x}) ^{ \frac{1}{1+\log x} }+ (\sqrt[12]{x}) )^{6}$

Question

در بسط $( ( \sqrt{x}) ^{ \frac{1}{1+\log x} }+ (\sqrt[12]{x}) )^{6}$ مقدار $x$ را چنان بیابید که جمله ی چهارم این بسط 200 باشد.

دبیرستان علامه حلی تهران

Comments

دوستان گرامی ، قسمت بالا لگاریتم ایکس در مبنای 10 هستش.

---

وقتی مبنا نوشته نشده نتیجه میشه مبنا 10 است.

---

بله ملتفت ام .. گفتم شاید واضح نباشه
ممنون

---

اها
ممنون حق باشماست
ممنون

Answer 1

در بسط دوچمله ای داریم

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$$

پس جمله چهارم به ازای $k=3$ به دست می آید. پس جمله چارم بسطی که نوشتید به صورت $\binom{6}{3}(\sqrt x)^{\frac 1{1+\log x}})^3(\sqrt[12] x)^3$ خواهد بود که فرض مساله از ما میخواد برابر $200$ بذاریم. با ساده کردن جمله چارم و برابر قرار دادن با دویست داریم

$$20x^{\frac{3}{2(1+\log x)}+\frac 14}=200$$ یعنی $x^{\frac{3}{2(1+\log x)}+\frac 14}=10$ با گرفتن لگاریتم از طرفین داریم $\big(\frac{3}{2(1+\log x)}+\frac 14\big)\log x=1$ با مخرج مشترک گیری و طرفین وسطین به معادله $$(\log x)^2+3\log x-4=0$$ می رسیم.

که این هم یک معادله درجه دوم ساده است $(\log x-1)(\log x+4)=0$ لذا $\log x=-4$ که در اینصورت $x=10^{-4}$ یا $\log x=1$ که در اینصورت $x=10$ .

Answer 2

جمله ی $k$ ام بسط $(a+b)^{n}$ برابر است با ${n\choose{k-1}} a^{k-1} b^{n-k+1}$ پس در اینجا جمله چهارم برابر است با:

$${6\choose{3}} ( ( \sqrt{x}) ^{ \frac{1}{1+log x} })^{3} (\sqrt[12]{x})^{3}=20 ( ( x^{ \frac{1}{2} }) ^{ \frac{1}{1+log x} })^{3} (x^{ \frac{1}{12} })^{3} =$$ $$20x^{ \frac{3}{2(1+log x)} }x^{ \frac{3}{12} }=20x^{ \frac{3}{2(1+log x)}+ \frac{1}{4} }$$ و با برابر قرار دادن آن با $200$ داریم:$x^{ \frac{3}{2(1+log x)}+ \frac{1}{4} }=10$

اگر جواب صحیح مد نظر باشد یکی از گزینه های احتمالی $x=10$ است که درست هم است اما جواب کلی چنین معادله ای به صورت $x= 10^{k}$ و درنتیجه باید توان برابر $\frac{1}{k}$ باشد و با جایگذاری مقدارهای مناسب برای $k$ را می یابیم.

$$\frac{1}{k}= \frac{3}{2(1+log 10^{k})}+ \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{k}= \frac{3}{2(1+k)}+ \frac{1}{4}$$ $$\frac{ k^{2}+3k-4 }{4k(k+1)} =0 \Rightarrow k^{2}+3k-4=0$$ جوابهای آن $k=1$ و$k=-4$ می باشد که هر دو مورد قبول هستند.

Comments

دوستان دستتون درد نکنه لطف کردین

---

خواهش میکنم موفق باشید