برای حل اینگونه سوالات معمولا از طرفی که جملات بیشتری دارد شروع میکنیم و به جای هر عبارت عبارتهای معادل را مینویسیم. مثلا $cot \theta = \frac{cos \theta }{sin \theta } $ و $tan \theta = \frac{sin \theta }{cos \theta } $
$$cot( \frac{x}{2})-tan( \frac{x}{2}) = \frac{cos( \frac{x}{2})}{sin( \frac{x}{2})}- \frac{sin( \frac{x}{2})}{cos( \frac{x}{2})}= \frac{ (cos( \frac{x}{2}))^{2}-(sin( \frac{x}{2}))^{2} }{sin( \frac{x}{2})cos( \frac{x}{2})} $$
حال در رابطه ی $sin(2 \alpha )=2sin( \alpha )cos( \alpha )$ قرار میدهیم $ \alpha =\frac{x}{2}$ پس
$ sin(2 \frac{x}{2} )=2sin( \frac{x}{2} )cos( \frac{x}{2} ) \Rightarrow \frac{1}{2} sin(x)=sin( \frac{x}{2} )cos( \frac{x}{2} )$
همچنین در رابطه ی $ cos(2 \alpha )= (cos( \alpha ))^{2}- (sin( \alpha ))^{2}$ قرار میدهیم $ \alpha =\frac{x}{2}$ پس $cos(x)= cos(2 \frac{x}{2} )= (cos(\frac{x}{2} ))^{2}- (sin( \frac{x}{2} ))^{2} $
حال این دو رابطه را جایگذاری می کنیم داریم:
$$cot( \frac{x}{2})-tan( \frac{x}{2}) =\frac{ (cos( \frac{x}{2}))^{2}-(sin( \frac{x}{2}))^{2} }{sin( \frac{x}{2})cos( \frac{x}{2})}= \frac{cos(x)}{\frac{1}{2} sin(x)} $$
$$=cot(x)$$
