Question

ثابت کنید: $$\cot \frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2} =2\cot x$$

Answer 1

برای حل اینگونه سوالات معمولا از طرفی که جملات بیشتری دارد شروع میکنیم و به جای هر عبارت عبارتهای معادل را مینویسیم. مثلا $cot \theta = \frac{cos \theta }{sin \theta } $ و $tan \theta = \frac{sin \theta }{cos \theta } $

$$cot( \frac{x}{2})-tan( \frac{x}{2}) = \frac{cos( \frac{x}{2})}{sin( \frac{x}{2})}- \frac{sin( \frac{x}{2})}{cos( \frac{x}{2})}= \frac{ (cos( \frac{x}{2}))^{2}-(sin( \frac{x}{2}))^{2} }{sin( \frac{x}{2})cos( \frac{x}{2})} $$

حال در رابطه ی $sin(2 \alpha )=2sin( \alpha )cos( \alpha )$ قرار میدهیم $ \alpha =\frac{x}{2}$ پس $ sin(2 \frac{x}{2} )=2sin( \frac{x}{2} )cos( \frac{x}{2} ) \Rightarrow \frac{1}{2} sin(x)=sin( \frac{x}{2} )cos( \frac{x}{2} )$

همچنین در رابطه ی $ cos(2 \alpha )= (cos( \alpha ))^{2}- (sin( \alpha ))^{2}$ قرار میدهیم $ \alpha =\frac{x}{2}$ پس $cos(x)= cos(2 \frac{x}{2} )= (cos(\frac{x}{2} ))^{2}- (sin( \frac{x}{2} ))^{2} $

حال این دو رابطه را جایگذاری می کنیم داریم: $$cot( \frac{x}{2})-tan( \frac{x}{2}) =\frac{ (cos( \frac{x}{2}))^{2}-(sin( \frac{x}{2}))^{2} }{sin( \frac{x}{2})cos( \frac{x}{2})}= \frac{cos(x)}{\frac{1}{2} sin(x)} $$ $$=cot(x)$$

Answer 2

می دانیم $$cot(a+b)= \frac{cot(a)cot(b)-1}{cot(b)+cot(a)} $$ اگر قرار دهیم: $$a=b= \frac{x}{2} $$ آنگاه داریم:

$$2cot(x)=2cot( \frac{x}{2}+\frac{x}{2}) = \frac{cot(\frac{x}{2})cot(\frac{x}{2})-1}{cot(\frac{x}{2})+cot(\frac{x}{2})}= $$ $$ 2\frac{ cot^{2}\frac{x}{2}-1}{2cot\frac{x}{2}} =\cot \frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2}$$ بنابراین: $$\cot \frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2} =2\cot x$$