مقدار عددی عبارت زیر را بیابید.

Question

$ x=41 ,y=40 \Rightarrow x^{16} -(x+y)( x^{2} + y^{2})( x^{4} + y^{4}) ( x^{8} + y^{8} ) =?$

Answer 1

$$x-y=41-40=1$$ پس می توان صورت و مخرج عبارت زیر را در $(x-y)$ ضرب و تقسیم کرد. $$(x+y)( x^{2} + y^{2})( x^{4} + y^{4}) ( x^{8} + y^{8} )$$ $$= \frac{(x-y)}{(x-y)=1} (x+y)( x^{2} + y^{2})( x^{4} + y^{4}) ( x^{8} + y^{8} )$$ با استفاده از اتحاد مزدوج داریم $$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$$ پس داریم: $$ \underbrace{(x-y)(x+y)} ( x^{2} + y^{2})( x^{4} + y^{4}) ( x^{8} + y^{8} )=$$ $$ \underbrace{ ( x^{2} - y^{2})( x^{2} + y^{2})}( x^{4} + y^{4}) ( x^{8} + y^{8} )=$$ $$ \underbrace{( x^{4} -y^{4})( x^{4} + y^{4})} ( x^{8} + y^{8} )=$$ $$( x^{8} -y^{8} )( x^{8} + y^{8} )= (x^{16} - y^{16} )$$ $$ \Rightarrow x^{16} -(x+y)( x^{2} + y^{2})( x^{4} + y^{4}) ( x^{8} + y^{8} )$$ $$=x^{16} -(x^{16} - y^{16} )=y^{16}=40^{16}$$