به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
1,463 بازدید
در دبیرستان توسط امیرحسام
$ \sqrt{ \frac{2 \times 2^{2} \times 2^{ 2^{2} } \times 2^{2^{3} } \times ..... \times 2^{ 2^{30} } }{ 2^{ 2^{30}-1 } } } =? $
مرجع: کتاب مرشد

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط yedost
انتخاب شده توسط امیرحسام
 
بهترین پاسخ

$$2 \times 2^{2} \times 2^{ 2^{2} } \times 2^{2^{3} } \times ..... \times 2^{ 2^{30} } = 2^{1+2+ 2^{2}+...+2^{30} } $$</math همانطور که می بینید توان، مجموع یک سری هندسی با <math>$q=2$ و $a=1$ و $n=31$ است.

مجموعه n جمله یک سری هندسی از رابطه $a \frac{1- q^{n} }{1-q} $ به دست می آید.

بنابراین $$1+2+ 2^{2}+...+2^{30} =1. \frac{1- 2^{31} }{1-2} =2^{31}-1$$

$$ \Rightarrow 2^{1+2+ 2^{2}+...+2^{30}}=2^{(2^{31}-1)}$$ حال حاصل عبارت زیر را می یابیم: $$\sqrt{ \frac{2 \times 2^{2} \times 2^{ 2^{2} } \times 2^{2^{3} } \times ..... \times 2^{ 2^{30} } }{ 2^{ 2^{30}-1 } } } = \sqrt{ \frac{2^{2^{31}-1}}{2^{ 2^{30}-1 }} } = \sqrt{ \frac{ \frac{2^{2^{31}}}{2} }{ \frac{2^{2^{30}}}{2} } } $$ $$=\sqrt{ \frac{ 2^{2^{31}}}{ 2^{2^{30}}} }=\sqrt{2^{2^{31}-2^{30}}}= \sqrt{2^{2^{30}}}=2^{2^{29}} $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...