عبارت زیر را بدست اورید

Question

اگر $x=31$و $y=30$ آنگاه عبارت زیر را بدست اورید:

$$ x^{32} -(x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )$$

Comments

کافیه قبل از جاگذاری طرفین را در 1 یعنی x-y ضرب کنید

---

جواب 30 به توان 32 است

---

از دوستان عزیز خواهش میکنم این سوالو سریع حل کنید.(پرویی منو ببخشید)
ببخشید اگه عجله دارم !
بازم ممنون

---

@erfanm
ممنون اگه میشه جواب کاملشو بذارید

Answer 1

سعی میکنم تمام ریزه کاری ها را بنویسم پس طولانی میشه اما ساده است. $$ x^{32} -(x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )=$$

عبارت را می توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$ x^{32} -(x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} ) \times 1=$$

می دانیم $ (x-y)=31-30=1 $ پس به جای 1 می نویسیم $(x-y)$ داریم: $$ x^{32} -(x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} ) \times (x-y)=$$

حال $(x-y)$ را پیش $(x+y)$ می بریم تا اتحاد مزدوج تشکیل شود:

$$ x^{32} -(x+y)\times (x-y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )=$$

اتحاد مزدوج: $(a-b)(a+b)= a^{2} - b^{2} $

$$ x^{32} -( x^{2} - y^{2} )( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )=$$ $$ x^{32} -( x^{4} - y^{4} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )=$$ $$ x^{32} -( x^{8} - y^{8} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )=$$ $$ x^{32} -( x^{16} - y^{16} )( x^{16} + y^{16} )=$$ $$ x^{32} -( x^{32} - y^{32} )=y^{32}=30^{32}$$

Answer 2

$$ x+y=\frac{x^2-y^2}{x-y}$$ $$ x^2+y^2=\frac{x^4-y^4}{x^2-y^2} $$ $$ x^4+y^4=\frac{x^8-y^8}{x^4-y^4} $$ $$ x^8+y^8=\frac{x^{16}-y^{16}}{x^8-y^8} $$ $$ x^{16}+y^{16}=\frac{x^{32}-y^{32}}{x^{16}-y^{16}} $$

$$ x^{32} -(x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )= x^{32}-\frac{x^{32}-y^{32}}{x-y}=y^{32}=30^{32}$$

Answer 3

اگر $y^{32}$ را از عبارت مذکور کم و جمع کنیم داریم: $x^{32} -(x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )-y^{32}+y^{32}=$ $ x^{32}-y^{32} -(x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )+y^{32}= $ $ (x^{16}+y^{16}) (x^{16}-y^{16}) -(x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )+y^{32} $ با ادامه تجزیه میرسیم به $(x-y)(x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )-(x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} )+y^{32}= $ $(x-y-1)((x+y)( x^{2} + y^{2} )( x^{4} + y^{4} )( x^{8} + y^{8} )( x^{16} + y^{16} ))+y^{32}$ حال با جایگذاری عبارت سمت چپ صفر شده و فقط $30^{32}$ خواهد ماند.