$$2 \times 2^{2} \times 2^{ 2^{2} } \times 2^{2^{3} } \times ..... \times 2^{ 2^{30} } = 2^{1+2+ 2^{2}+...+2^{30} } $$$q=2$ و $a=1$ و $n=31$ است.
مجموعه n جمله یک سری هندسی از رابطه $a \frac{1- q^{n} }{1-q} $ به دست می آید.
بنابراین
$$1+2+ 2^{2}+...+2^{30} =1. \frac{1- 2^{31} }{1-2} =2^{31}-1$$
$$ \Rightarrow 2^{1+2+ 2^{2}+...+2^{30}}=2^{(2^{31}-1)}$$
حال حاصل عبارت زیر را می یابیم:
$$\sqrt{ \frac{2 \times 2^{2} \times 2^{ 2^{2} } \times 2^{2^{3} } \times ..... \times 2^{ 2^{30} } }{ 2^{ 2^{30}-1 } } } = \sqrt{ \frac{2^{2^{31}-1}}{2^{ 2^{30}-1 }} } =
\sqrt{ \frac{ \frac{2^{2^{31}}}{2} }{ \frac{2^{2^{30}}}{2} } } $$
$$=\sqrt{ \frac{ 2^{2^{31}}}{ 2^{2^{30}}} }=\sqrt{2^{2^{31}-2^{30}}}= \sqrt{2^{2^{30}}}=2^{2^{29}} $$
