حاصل عبارت چند است؟

Question

$ \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{.....} } } } } $

Answer 1

قرار می دهیم: $$x=\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{.....} } } } }$$ $$x^{2}=2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{.....} } } }$$ $$ \frac{x^{2}}{2} =\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{.....} } } }$$ چون عبارت سمت راست را برابر $x$ قرار دادیم پس داریم: $$\frac{x^{2}}{2}=x \Rightarrow x^{2}=2x \Rightarrow x^{2}-2x=0 \Rightarrow x(x-2)=0 $$ $$\Rightarrow x=0 \vee x=2$$

Comments

$x=0$ پاسخ مناسبی نیست چون حاصل عبارت بالا همواره مثبت است.

---

@Taha1381 مثبت بودن تمام جملات دنباله ای با اینکه حد اون دنباله صفر شده باشه منافاتی نداره. مثلا دنباله $\frac 1n$ .

Answer 2

عبارت رو برابر $A$ قرار میدیم که در اینصورت $A= \sqrt{ 2A}$ ; که نتیجه می گیریم $\sqrt 2= \sqrt A$ بنابر این $A=2$

Comments

طرفین رو تقسیم بر $\sqrt A$ کردید. در حالیکه مجاز به چنین کاری نیستید چون ممکنه $A$ صفر باشه.

Answer 3

باید ابتدا نشان داده شود که این دنباله همگراست.

برای این کار نشان می دهیم دنباله $x_n=\underbrace{\underline{\sqrt {2\sqrt{2...\sqrt 2}}}}$ صعودی و از بالا کراندار است لذا همگرا خواهد شد. توجه کنید که واضح است جملات دنباله مثبت هستند.

صعودی بودن را با استقرا نشان می دهیم:

مقدمه استقرا واضح است یعنی $\sqrt 2\leq \sqrt{2\sqrt 2}$

فرض کنیم که $x_n\leq x_{n+1}$ در اینصورت $2x_n\leq 2x_{n+1}$ و لذا $x_{n+1}\sqrt{2x_n}\leq \sqrt{2x_{n+1}}=x_{n+2}$ لذا صعودی است.

حال نشان میدهیم $2$ یک کران بالا است. این کار را با استقرا انجام می دهیم.

واضح است که $\sqrt 2\leq 2$

فرض کنید $x_n\leq 2$ در اینصورت $2x_n\leq 4$ پس $x_{n+1}=\sqrt{2x_n}\leq \sqrt 4=2$ پس کراندار است.

پس دنباله همگراست. فرض کنید $x_n\to x$ در اینصورت چون $x_n=\sqrt {2x_{n}}$ لذا $x=\sqrt{2x}$ که با حل آن داریم $x=0$ یا $x=2$ اما $x=0$ قابل قبول نیست چون دنباله ما صعودی است و از بالا به $2$ کراندار است پس $x=2$ .