ثابت کنید $$ \| T \| =\inf\{c \geq 0 : \| Tx \| \leq c \| x \| , \forall x \in X\}$$

Question

فرض کنید $f$ پیوسته $c[0,1]= \{f:[0,1]\to \mathbb R\}$ و $ \parallel Tx \parallel \leq \parallel T \parallel \parallel x \parallel $ و $T:X\to\mathbb R$ .

ثابت کنید $$ \parallel T \parallel =\inf\{c \geq 0 : \parallel Tx \parallel \leq c \parallel x \parallel , \forall x \in X\}$$

Comments

ببخشید میشه سوالو ویرایش کنید و بگید دقیقا دنبال اثبات چی هستید؟ شما نرم یک عملگر خطی رو میخواید ثابت کنید با اون اینفیمم که نوشتید برابر هستن؟ درست سوالو متوجه شدم؟

---

بله میخوام ثابت کنم نرم این عبارت برابر است با inf..

Answer 1

نرم عملگر خطی $T:X\to Y$ که به صورت $$\|T\|=\sup\{\|Tx\|:\|x\|= 1\}$$ تعریف می شود برابر است با $$\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:0\neq x\in X\}$$

می دانیم که برای هر $x\in X$ داریم $\|Tx\|\leq \|T\|\|x\|$ بنابراین $\|T\|\in\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}$ و لذا $$\inf\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}\leq \|T\|\tag{*}$$

حال فرض کنید $c\in\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}$ دلخواه باشد در اینصورت برای هر $x\in X$ که $x\neq 0$ داریم $\frac{\|Tx\|}{\|x\|}\leq c$ و لذا $$\|T\|=\sup\{\frac{\|Tx\|}{\|x\|}:0\neq x\in X\}\leq c$$ چون $c$ دلخواه بود لذا $$\|T\|\leq \inf\{c:\|Tx\|\leq c\|x\|\}\tag{**}$$