لم شانوئل را اثبات کنید.(lemma Shanuel's)

Question

فرض کنیم $0 \longrightarrow K \xrightarrow{\mbox{$ \varphi$ }} P \xrightarrow{\mbox{$ \psi $ }} M \longrightarrow 0$ و $0 \longrightarrow L \xrightarrow{\mbox{f }} Q \xrightarrow{\mbox{g }} M \longrightarrow 0$ دو رشته دقیق از $R$-مدولها و $R$-همومورفیسم ها باشد بطوریکه $P$ و $Q$ دو $R$-مدول پروژکتیو باشند.

در این صورت $K \oplus Q \cong L \oplus P$

Answer 1

نمودار

$$P$$ $$\downarrow _{ \psi }$$ $$Q \xrightarrow{\mbox{g }} M \rightarrow 0$$ را در نظر بگیرید چون $P$ پروژکتیو(تصویری) است، $R$همریختی ای مثل $\beta :P \rightarrow Q$ موجود است که نمودار بالا را جابجایی می کند. بنابراین نمودار جابه جایی زیر را خواهیم داشت. $$0 \longrightarrow K \xrightarrow{\mbox{$ \varphi$ }} P \xrightarrow{\mbox{$ \psi $ }} M \longrightarrow 0$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \downarrow _{ \beta } \ \ \ \ \downarrow _{ 1_{M} }$$ $$0 \longrightarrow L \xrightarrow{\mbox{f }} Q \xrightarrow{\mbox{g }} M \longrightarrow 0$$

حال میخواهیم $R$همریختی $\alpha :K \rightarrow L$ را طوری تعریف کنیم که نمودار جابجایی بالا، جابجایی باقی بماند. برای این منظور فرض کنید $x$ عضوی دلخواه از $K$ باشد پس $\varphi (x) \in K$ و $\beta ( \varphi (x)) \in Q$ و در نتیجه $g(\beta ( \varphi (x)))$ معنی دارد. اما $g \beta = 1_{M} \psi = \psi$ پس $g(\beta ( \varphi (x)))=\psi ( \varphi (x))=0$ یعنی $\beta ( \varphi (x)) \in Ker(g)=Im(f)$ و در نتیجه عضوی از $L$ مانند $y$ موجود است که $\beta ( \varphi (x))=f(y)$ پس به ازای هر عضو از $K$ مانند $x$، عضوی از $L$ مانند $y_{x}$ موجود است که $\beta ( \varphi (x))=f(y_{x} )$ و این عضو منحصربفرد است چون $f$ یک به یک است. حال تعریف میکنیم $\alpha :K \rightarrow L$ که $\alpha (x)= y_{x}$ و به راحتی ثابت میشود که $\alpha$ یک$R$همریختی است و نمودار را جابجا میکند. پس نمودار زیر را خواهیم داشت.

$$0 \longrightarrow K \xrightarrow{\mbox{$ \varphi$ }} P \xrightarrow{\mbox{$ \psi $ }} M \longrightarrow 0$$ $$\downarrow _{ \alpha } \ \ \ \ \downarrow _{ \beta } \ \ \ \ \downarrow _{ 1_{M} }$$ $$0 \longrightarrow L \xrightarrow{\mbox{f }} Q \xrightarrow{\mbox{g }} M \longrightarrow 0$$

حال $R$همریختی های $A:K \rightarrow L \bigoplus P$ با تعریف $A(x)=( \alpha (x), \varphi (x))$ و $B:L \bigoplus P \rightarrow Q$ با تعریف $B(y,z)=\beta (z)-f(y)$ را در نظر میگیریم اگر نشان دهیم که

$$0 \longrightarrow K \xrightarrow{\mbox{A }} L \bigoplus P \xrightarrow{\mbox{B }} Q \longrightarrow 0$$ یک دنباله دقیق است آنگاه از اینکه $Q$ تصویری(پروژکتیو) است نتیجه می شود که دنباله شکافته می شود یعنی $K \oplus Q \cong L \oplus P$ و این حکم را ثابت می کند.

اثبات دقیق بودن دنباله کوتاه ساده است. هر قسمتی رو که مشکل داشتید در یک دیدگاه بنویسید تا اثبات رو اضافه کنم.

اثبات برگرفته از اثبات لم شانوئل در کتاب مقدمه ای بر نظریه مدولهای یاسمی-پورنکی

Answer 2

اگر $φ : P → M$ و $φ ' : Q → M$، طبق تعریف submodule برای $P \oplus Q$ داریم:

$$X = \{ (p,q) \in P \oplus Q : \phi(p) = \phi^\prime(q) \}.$$ نگاشت $π: X → P$، که در آن $π$ به عنوان تصویر $X$ به $P$ تعریف شده است، پوشا است، چون $φ '$ پوشاست، برای هر $p \in P$، یک $q \in Q$ می یابیم به طوری که $\phi(p) = \phi^\prime(q)$ در این صورت داریم $(p,q) \in X$ و $π (p,q) = p$.

با بررسی kernel نگاشت $π$ داریم:

$$ker π=\{(0,q):(0,q) \in X\}=\{(0,q):\phi^\prime(q)=0\} \cong ker \phi^\prime\cong L$$ پس نتیجه می گیریم که یک دنباله دقیق کوتاه به شکل زیر وجود دارد: $$0 \rightarrow L \rightarrow X \rightarrow P \rightarrow 0$$ چون که $P$ پروژکتیو تجزیه دنباله است پس: $$X ≅ L ⊕ P \ \ \ \ (1)$$ . به طور مشابه می توان نگاشت دیگری به صورت $π : X → Q$ تعریف کرد و همانند بالا نشان داد که دنباله دقیق کوتاهی مانند زیر وجود دارد: $$0 \rightarrow K \rightarrow X \rightarrow Q \rightarrow 0$$ بدین ترتیب: $$X ≅ K ⊕ Q \ \ \ \ \ (2)$$ با ترکیب نتایج به دست آمده $(1)$ و $(2)$ داریم: $$K ⊕ Q≅ L ⊕ P$$