فرض کنیم $I$ ایده ال سره $R$ باشد اولا واضح است که $IJ \subset J$ نشان میدهیم $J \subset IJ$.چون $R$ نوتری است پس $IJ$
دارای یک تجزیه اولیه مینیمال مانند
$$IJ= Q_{1} \cap Q_{2}... \cap Q_{n} $$
که $ Q_{i} $ ها $ P_{i} $ - اولیه اند.فرض کنیم $j \in J$ یک عضو دلخواه باشد.
اگر به ازای هر$ i=1,...,n$ داشته باشیم $j \in Q_{i} $ پس $j \in IJ$.
فرض کنیم(ف.خ) $ \exists 1 \leq k \leq n$ به طوریکه $j \in Q_{k} $ نیست.
داریم$$ \sqrt{ Q_{k} } = P_{k} \Rightarrow \exists t \in n; P_{k} ^{t} \subseteq Q_{k} $$
حال داریم $jI \subseteq IJ \subseteq Q_{k} $ .از طرفی
$$ \exists s \in N; I^{s} \subseteq Q_{k} \subseteq P $$
$$ \Rightarrow I \subseteq P_{k} \Rightarrow I^{t} \subseteq P_{k} ^{t} $$
حال داریم $$j \in \bigcap_0^ \infty I^{n} \subseteq I^{t} \subseteq P_{k} ^{t} \subseteq Q_{k} $$
پس $j \in Q_{k} $ که تناقض است.
پس به ازای هر $i=1,...,n$ ،$j \in Q_{i} $ پس $j \in \bigcap_1^n Q_{i}=IJ $ و حکم اثبات شد.
حال برای اثبات قسمت دوم چون $R$ نوتری است پس $J$ یک ایده ال متناهی مولد است پس بنابه لم ناکایاما $J=0$.
