فرض کنیم I ایده ال سره R باشد اولا واضح است که IJ \subset J نشان میدهیم J \subset IJ.چون R نوتری است پس IJ
دارای یک تجزیه اولیه مینیمال مانند
IJ= Q_{1} \cap Q_{2}... \cap Q_{n}
که Q_{i} ها P_{i} - اولیه اند.فرض کنیم j \in J یک عضو دلخواه باشد.
اگر به ازای هر i=1,...,n داشته باشیم j \in Q_{i} پس j \in IJ.
فرض کنیم(ف.خ) \exists 1 \leq k \leq n به طوریکه j \in Q_{k} نیست.
داریم \sqrt{ Q_{k} } = P_{k} \Rightarrow \exists t \in n; P_{k} ^{t} \subseteq Q_{k}
حال داریم jI \subseteq IJ \subseteq Q_{k} .از طرفی
\exists s \in N; I^{s} \subseteq Q_{k} \subseteq P
\Rightarrow I \subseteq P_{k} \Rightarrow I^{t} \subseteq P_{k} ^{t}
حال داریم j \in \bigcap_0^ \infty I^{n} \subseteq I^{t} \subseteq P_{k} ^{t} \subseteq Q_{k}
پس j \in Q_{k} که تناقض است.
پس به ازای هر i=1,...,n ،j \in Q_{i} پس j \in \bigcap_1^n Q_{i}=IJ و حکم اثبات شد.
حال برای اثبات قسمت دوم چون R نوتری است پس J یک ایده ال متناهی مولد است پس بنابه لم ناکایاما J=0.
