بُعد کرول حلقهٔ $\frac{R}{\langle x^2,y^2,xz,yz,z^2-xy\rangle}$ را بیابید.

Question

در حلقهٔ $R=K[x,y,z] $، ایده‌آل $I=\langle x^{2}, y^{2},xz,yz, z^{2}-xy\rangle$ داده شده است. بُعد $\dim(R/I)$ را به دست آورید؟

Answer 1

پاسخ سوم: می‌دانیم $ht(I)=ht(\sqrt{I})$، که منظور از $ht(I)$ بلندی (ارتفاع) ایده‌آل $I$ است¹. از طرفی $x,y \in \sqrt{I} $. بنابراین $z ^{2}=(z^{2}-xy)+xy \in \sqrt{I} $. در نتیجه $z\in \sqrt{I}$. پس $\sqrt{I} \supseteq\langle x,y,z\rangle$. چون $\langle x,y,z\rangle$ ایده‌آلی ماکسیمال در $R$ است پس $\sqrt{I} =\langle x,y,z\rangle$. لذا $ht(I)=3$. حال از رابطهٔ $ht(I) + \dim(R/I) \leq \dim(R)$ نتیجه می گیریم $\dim(R/I)=0$.

---

1. ht کوتاه‌شده‌ای از واژهٔ انگلیسی height به معنای ارتفاع است. ↩︎

Answer 2

یک روش ترکیبیاتی ساده اینه که اگر $ I $ یک ایده آلی باشد که توسط تک جمله ای(یک جمله ای) تولید شود از رابطه ی $dim(R/I)=dim(R/ \sqrt{I} ) $ استفاده کنیم. و اگر مانند صورت سوال $ I$ تک جمله ای نباشد ایده آلی به نام $in_{ < }(I) $ را میسازیم و قضیه داریم که $dim(R/I)=dim(R/in_{ < }(I)) $ است.

در اینجا $in_{ < }(I) =(x^{2}, y^{2},xz,yz,xy, z^{3} )$ و لذا $ \sqrt{{in_{ < }(I)} } =(x,y,z) $ لذا داریم: $dim(R/I)=dim(R/in_{ < }(I)) = dim(R/ \sqrt{in_{ < }(I)} )=dim( \frac{K[x,y,z] }{(x,y,z)})=0 $

روش دوم:

$I=( x^{2}, y^{2},xz,yz, z^{2}-xy) =( x^{2}, y^{2},x,yz, z^{2}-xy) \cap ( x^{2}, y^{2},z,yz, z^{2}-xy)=( y^{2},x,yz, z^{2}) \cap ( x^{2}, y^{2},z, xy) =[( y^{2},x,y, z^{2})\cap ( y^{2},x,z, z^{2}) ]\cap [( x^{2}, y^{2},z, y)\cap ( x^{2}, y^{2},z, x)]=[( x,y, z^{2})\cap ( y^{2},x,z) ]\cap [( x^{2},z, y)\cap ( y^{2},z, x)]$

پس $I=( x,y, z^{2})\cap ( y^{2},x,z) \cap ( x^{2},z, y)$ و $ass(I)= \{(x,y,z) \} $ $dim(R/I)=dim( \frac{K[x,y,z] }{(x,y,z)})=0 $