به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
56 بازدید
در دانشگاه توسط chiman (11 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

فرض کنید $R=K[x_1, x_2, x_3]$ و $m= \langle x_1, x_2, x_3\rangle$. تحلیلی از $\frac{R}{m^5}$ پیدا کنید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm (12,742 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

در حالت کلی به کمک نرم افزار Cocoa می توانیم تحلیل یک ایده آل را بیابیم. مثلا برای ایده آل داده شده کافیست دستورات زیر را در نرم افزار اجرا نمایید.

Use R ::= QQ[x,y,z];
I := Ideal(x,y,z);
Res(R/I^5);

اما برای اینکه در حالت دستی خودمان تحلیل رابیابیم. مثال زیر را در نظر بگیرید(مثال گفته شده در سوال خیلی بزرگ است و تحلیل آن به راحتی بدست نمی‌آید) $$I=(x,y,z^2)$$

تحلیل آزاد آن به صورت $$0\rightarrow F_p \rightarrow \ldots \rightarrow F_1 \rightarrow F_0 \rightarrow I \rightarrow 0$$ است.که در آن ‎$F_i=\oplus_j S(-j)^{\beta_{ij}}$‎ و ‎$S(-j)$‎ یک ‎$S$‎ مدول آزاد است که با ‎$j$‎ درجه شیفت دادن ‎$S$‎ بدست آمده است.

نگاشتی که از ‎$ F_0 $‎ به ‎$ I $‎ است را ‎$ \varphi $‎ می نامیم و همچنین نگاشتی که از ‎$ F_1 $‎ به ‎$ F_0 $‎ است را ‎$ \psi $‎ می نامیم.

عناصر پایه $F_0 $ را به تعداد مولد های ایده آل می گیریم مثلا $$\varphi (e_1)=x $$ $$\varphi (e_2)=y $$ $$\varphi (e_3)=z^2 $$

همانطور که دیده می شود درجه $e_1$ برابر درجه $ x $ است و درجه $e_2$ برابر درجه $y $ است و درجه $e_3$ برابر درجه $z^2 $ است

بنابراین: $$F_0=S(-1)^{2}\oplus_j S(-2)^{1}$$ پس$ \beta_{02} =1$ و $\beta_{01}=2$

برای اینکه تحلیل می نیمال باشد هسته $\varphi $ را می یابیم. باید ترکیب خطی از $e_i $ ها را بیابیم به طوری که با اثر کردن $\varphi $ حاصل صفر شود. دو به دو مولد های $ I$ را در نظر می گیریم. از آنجایی که $y(x)=x(y) $ پس عنصر $ye_1-xe_2 $ را در هسته $\varphi $ داریم و ...

به سادگی عناصر مولد مینیمال هسته $\varphi $ به صورت زیر بدست می آیند: $$ ye_1-xe_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^2e_1-xe_3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z^2e_2-ye_3$$

عنصر $ z^2e_1-xe_3 $ را در نظر بگیرید. درجه عنصر $z^2e_1 $ برابر 3 (درجه $ z^2 $ برابر 2 و درجه $ e_1$برابر 1 است) و درجه عنصر $ xe_3$ نیز 3 است (درجه $x $ برابر 1 و درجه $ e_3$برابر 2 است) یعنی عنصر همگن از درجه 3 است. درجه عناصر دیگر هم به طور مشابه بدست می آید.(دو عنصر درجه 3 و یک عنصر درجه 2)

عناصر پایه $ F_1 $ را برابر $g_2 $، $g_1 $ و$g_3 $ در نظر میگیریم و نگاشت $ \psi $ از ‎$ F_1 $‎ به ‎$ F_0 $ را به صورت $$ \psi (g_1)=ye_1-xe_2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \psi (g_2)=z^2e_1-xe_3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \psi (g_3)=z^2e_2-ye_3$$

در نظر می گیریم بنابراین:

$$F_1=S(-2)^{1}\oplus_j S(-3)^{2}$$ پس$ \beta_{12} =1$ و $\beta_{13}=2$

هسته $\psi$ را می یابیم. باید ترکیب خطی از $g_i $ ها را بیابیم به طوری که با اثر کردن $\psi$ حاصل صفر شود.

تنها عنصر

$$ z^2g_1-yg_2+xg_3 $$ وجود دارد.

عنصر $ z^2g_1-yg_2+xg_3 $ را در نظر بگیرید. درجه عنصر $ z^2g_1 $ برابر 4 (درجه $ z^2 $ برابر 2 و درجه $ g_1$برابر 2 است) و درجه عنصر $ yg_2$ نیز 4 است (درجه $y $ برابر 1 و درجه $ g_2$برابر 3 است) و..

یعنی این عنصر همگن از درجه 4 است.

بنابراین:

$$F_2=S(-4)^{1}$$ پس$ \beta_{24} =1$

از آنجایی که هسته نگاشت از ‎$ F_2 $‎ به ‎$ F_1 $ برابر صفر می شود تحلیل در همینجا تمام می شود. یعنی تحلیل به صورت زیر است: $$0\rightarrow S(-4)^{1} \rightarrow S(-2)^{1}\oplus_j S(-3)^{2} \rightarrow S(-1)^{2}\oplus_j S(-2)^{1} \rightarrow I \rightarrow 0$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...