معادله کلی به صورت $a u_{xx}+b u_{xy}+c u_{yy} +...=0 $ است پس در این سوال داریم $a=4$ و$b=-4$ و$c=1$ است. لذا $ b^{2} -4ac=16-16=0$ و این یعنی معادله از نوع سهمیگون است. آن را به فرم کانونیک تبدیل میکنیم. معادله مشخصه برابر است با:
$$ a( \frac{dy}{dx} )^{2}-b\frac{dy}{dx}+c=0$$
پس برای این سوال معادله مشخصه برابر است با
$$ 4( \frac{dy}{dx} )^{2}+4\frac{dy}{dx}+1=0$$ که این معادله دارای ریشه مضاعف $\frac{dy}{dx}= -\frac{1}{2} $ است لذا $dy=-\frac{1}{2}dx$ پس $y=- \frac{x}{2}+c $ پس $ \varphi (x,y)=y+\frac{x}{2}=c$ حال از تغییر متغییر $ \alpha =y+\frac{x}{2}$ و $ \beta =y$ یا $ \beta =x$ استفاده میکنیم.
$$ \begin{cases}u_{x}=u_{ \alpha } \alpha _{x} +u_{ \beta } \beta _{x}= u_{ \alpha }\frac{1}{2}\\u_{y}=u_{ \alpha } \alpha _{y} +u_{ \beta } \beta _{y}= u_{ \alpha }+u_{ \beta }\end{cases} $$
$$ u_{xx}= \frac{\partial u_{ \alpha }}{\partial x}\frac{1}{2}=(u_{ \alpha \alpha }\alpha _{x}+u_{ \alpha \beta } \beta _{x}) \frac{1}{2}=\frac{1}{4}u_{ \alpha \alpha }$$
$$ u_{yy}= \frac{\partial (u_{ \alpha }+u_{ \beta })}{\partial y}=(u_{ \alpha \alpha }\alpha _{y}+u_{ \alpha \beta } \beta _{y}) +(u_{ \beta \alpha }\alpha _{y}+u_{ \beta \beta } \beta _{y}) =$$
$$u_{ \alpha \alpha }+u_{ \alpha \beta }+u_{ \beta \alpha }+u_{ \beta \beta }=u_{ \alpha \alpha }+2u_{ \alpha \beta }+u_{ \beta \beta }$$
$$ u_{xy}= \frac{\partial u_{ \alpha }}{\partial y}\frac{1}{2}=(u_{ \alpha \alpha }\alpha _{y}+u_{ \alpha \beta } \beta _{y}) \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(u_{ \alpha \alpha }+u_{ \alpha \beta })$$
حال مقادیر را جایگذاری میکنیم:
$$\frac{4}{4}u_{ \alpha \alpha }-\frac{4}{2}(u_{ \alpha \alpha }+u_{ \alpha \beta })+u_{ \alpha \alpha }+2u_{ \alpha \beta }+u_{ \beta \beta }=0$$
در نتیجه $$ u_{ \beta \beta }=0$$
